Question

13．心理學家發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關，某數學興趣小組為了驗證這個結論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學（男30女20），給所有同學幾何題和代數各一題，讓各位同學自由選擇一道題進行解答．選情況如下表：（單位：人）

	幾何題	代數題	總計
男同學	30	8	30
女同學	8	12	20
總計	30	20	50

（1）能否據此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關？
（2）經過多次測試后，女生甲每次解答一道幾何題所用的時間在5---7分鐘，女生乙每次解答一道幾何題所用的時間在6-8分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率．
附表及公式

P（k2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0，005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

k²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$．

Answer 1

分析 （1）根據表中所給的數據，計算觀測值K²，觀測值同臨界值進行比較，得出概率結論；
（2）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，繪制基本事件滿足的區(qū)域，由幾何概型公式即可求得乙比甲先解答完的概率P（A）．

解答 解：（1）由表中數據得K²的觀測值K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50×（22×12-8×8）}{30×20×30×10}$≈5.024，
∴根據統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關；
（2）設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x，y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域為$\left\{\begin{array}{l}{5≤x≤7}\\{6≤y≤8}\end{array}\right.$，（如圖所示），
設事件A為“乙比甲先做完此道題”，乙比甲先解答完的事件為A，則滿足的區(qū)域為x＞y，
∴由幾何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×1×1}{2×2}$=$\frac{1}{8}$，
∴乙比甲先解答完的概率P=$\frac{1}{8}$．

點評 本題主要考查獨立性檢驗的應用，考查幾何概型公式，考查數形結合思想，屬于中檔題．