Question

14．證明：1×2²-2×3³+…+（2n-1）（2n）²-2n（2n+1）²=-n（n+1）（4n+3）（n∈N⁺）

Answer 1

分析 利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 證明：①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1×2²-2×3²=-14，
右邊=-（1+1）（4×1+3）=-14，
等時(shí)成立；
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥1）時(shí)，有1×2²-2×3²+…+（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²=-k（k+1）（4k+3），
則當(dāng)n=k+1時(shí)，1×2²-2×3²+…+（2k-1）（2k）²-2k（2k+1）²+（2k+1）（2k+2）²-2（k+1）（2k+3）²
=-k（k+1）（4k+3）+（2k+1）（2k+2）²-2（k+1）（2k+3）²
=-k（k+1）（4k+3）+（k+1）[4（2k+1）（k+1）-2（2k+3）²]
=-k（k+1）（4k+3）-2（k+1）（6k+7）
=-（k+1）（4k²+15k+14）
=-（k+1）（k+2）（4k+7），
即當(dāng)n=k+1時(shí)，等式也成立；
由①②可知等時(shí)成立．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查運(yùn)算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．