Question

（2012•江西模擬）已知數(shù)列{a_n}是各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列，公差為d，S_n 為其前n項(xiàng)和，且滿(mǎn)足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿(mǎn)足b_n=

1

anan+1

，T_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式和T_n；
（2）是否存在正整數(shù)m，n（1＜m＜n），使得T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求a₁=1，d=2，可求通項(xiàng)，而b_n=

1

anan+1

，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮利用裂項(xiàng)相消法求和
（法二）：由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，S2n-1=

a1+a2n-1

2

×(2n-1)=（2n-1）a_n，結(jié)合已知a_n²=S_2n-1，可求a_n，而b_n=

1

anan+1

，結(jié)合數(shù)列通項(xiàng)的特點(diǎn)，考慮利用裂項(xiàng)相消法求和
（Ⅱ）由（I）可求T₁=

1

3

，T_m=

m

2m+1

，T_n=

n

2n+1

，代入已知可得

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

法一：由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

可得，

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0可求m的范圍，結(jié)合m∈N且m＞1可求m，n
法二：由

n

6n+3

=

1

6+ 3 n

＜

1

6

可得

m

4m2+4m+1

＜

1

6

，結(jié)合m∈N且m＞1可求m，n

解答：解：（Ⅰ）（法一）在a_n²=S_2n-1，令n=1，n=2可得

a12=S1 a22=S3

即

a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d

∴a₁=1，d=2
∴a_n=2n-1
∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

（法二）∵{a_n}是等差數(shù)列，
∴

a1+a2n-1

2

=an
∴S2n-1=

a1+a2n-1

2

×(2n-1)=（2n-1）a_n
由a_n²=S_2n-1，得a_n²=（2n-1）a_n，
又a_n≠0，
∴a_n=2n-1
∵b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

（Ⅱ）∵T₁=

1

3

，T_m=

m

2m+1

，T_n=

n

2n+1

若T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)列，則(

m

2m+1

)2=

1

3

(

n

2n+1

)
即

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

法一：由

m2

4m2+4m+1

=

n

6n+3

可得，

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0
即-2m²+4m+1＞0
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

∵m∈N且m＞1
∴m=2，此時(shí)n=12
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時(shí)，T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)
法二：∵

n

6n+3

=

1

6+ 3 n

＜

1

6

∴

m

4m2+4m+1

＜

1

6

∴2m²-4m-1＜0
∴1-

6

2

＜m＜1+

6

2

∵m∈N且m＞1
∴m=2，此時(shí)n=12
∴當(dāng)且僅當(dāng)m=2，n=12時(shí)，T₁，T_m，T_n，成等比數(shù)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式的綜合應(yīng)用，裂項(xiàng)求和方法的應(yīng)用，本題具有一定的綜合性．