Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax²+xlnx（a∈R）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+3y=0垂直．
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a的值；
（Ⅱ）若存在k∈Z，使得f（x）＞k恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x+3y=0垂直．即函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)在x=1處的函數(shù)值為3，求出a的值；
（Ⅱ）利用已知函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造g（x）=2x+lnx+1，由g（x）的單調(diào)性得出f（x）的單調(diào)性，再由f（x）≥f（x）_極小值，解決恒等式，從而求出k的最大值

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+xlnx，∴f′（x）=2ax+lnx+1，
∵切線與直線x+3y=0垂直，∴切線的斜率為3，
∴f′（1）=3，即2a+1=3，故a=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x²+xlnx，a∈（0，+∞），f′（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），
令g（x）=2x+lnx+1，x∈（0，+∞），則g'（x）=$\frac{1}{x}$+2，x∈（0，+∞），
由g′（x）＞0對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
又∵g（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=$\frac{2}{{e}^{2}}$-1＜0，g（$\frac{1}{2}$）=2-ln2＞0，
∴存在x₀∈（0，$\frac{1}{2}$）使g（x₀）=0
∵g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，g（x）=f′（x）＜0，f（x）在（0，x₀）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（x₀，+∞）時(shí)，g（x）=f′（x）＞0，f（x）在（x₀，+∞）上單調(diào)遞增；
∴f（x）在x=x₀處取得最小值f（x₀）
∵f（x）＞k恒成立，所以k＜f（x₀）
由g（x₀）=0得，2x₀+lnx₀+1=0，所以lnx₀=-1-2x₀，
∴f（x₀）=x02+x0lnx0=x02+x0（-1-2x0）=-x02-x0=$-（{x}_{0}+\frac{1}{2}）^{2}$$+\frac{1}{4}$，又x₀∈（0，$\frac{1}{2}$）
∴f（x₀）∈（-$\frac{3}{4}$，0），
∵k∈Z，
∴k的最大值為-1．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想等，是一道綜合性較強(qiáng)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)用題．屬于難題．