Question

已知函數(shù)（）

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)在處取得極值，不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當時，證明不等式 .

 

Answer 1

（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）；（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）求導數(shù)，對參數(shù)進行分類討論，當導函數(shù)大于0時，得到增區(qū)間，導函數(shù)小于0時得到減區(qū)間。（2）含參數(shù)不等式恒成立問題，一般要把要求參數(shù)分離出來，然后討論分離后剩下部分的最值即可。討論最值的時候要利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性。（3）證明不等式可以有很多方法，但本題中要利用（1）（2）的結論。構造函數(shù)，然后利用函數(shù)單調(diào)性給予證明。

試題解析：（1）函數(shù)的定義域為， 1分

當時，，從而，故函數(shù)在上單調(diào)遞減 3分

當時，若，則，從而，

若，則，從而，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 5分

（2）由（1）得函數(shù)的極值點是，故 6分

所以，即，

由于，即. 7分

令，則

當時，；當時，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； 9分

故，所以實數(shù)的取值范圍為 10分

（3）不等式 11分

構造函數(shù)，則，

在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增， 13分

由于，所以，得

故 14分

考點：1、多項式函數(shù)求導；2、利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，最值以及證明不等式的綜合應用。