【題目】已知⊙H被直線x-y-1=0,x+y-3=0分成面積相等的四個部分,且截x軸所得線段的長為2。
(I)求⊙H的方程;
(Ⅱ)若存在過點P(0,b)的直線與⊙H相交于M,N兩點,且點M恰好是線段PN的中點,求實數(shù)b的取值范圍
【答案】(1)(2)
【解析】試題分析:(I)設(shè)的方程為
,由題意可知圓心
一定是兩直線
的交點,可得交點為
,所以
. 又
截x軸所得線段的長為2,所以
.,即可得到⊙H的方程;
(II)法一:如圖, 的圓心
,半徑
,
過點N作的直徑
,連結(jié)
.
由題可得“點是線段
的中點”等價于“圓上存在一點
使得
的長等于
的直徑”.
由此得到實數(shù)b的取值范圍
法二:如圖, 的圓心
,半徑
,連結(jié)
,
過作
交
于點
,并設(shè)
.
由題意得,所以
,
又因為,所以
,由此得到實數(shù)b的取值范圍
試題解析:(I)設(shè)的方程為
,
因為被直線
分成面積相等的四部分,
所以圓心一定是兩直線
的交點,
易得交點為,所以
.
又截x軸所得線段的長為2,所以
.
所以的方程為
.
(II)法一:如圖, 的圓心
,半徑
,
過點N作的直徑
,連結(jié)
.
當(dāng)與
不重合時,
,
又點是線段
的中點
;
當(dāng)與
重合時,上述結(jié)論仍成立.
因此,“點是線段
的中點”等價于“圓上存在一點
使得
的長等于
的直徑”.
由圖可知,即
,即
.
顯然,所以只需
,即
,解得
.
所以實數(shù)的取值范圍是
.
法二:如圖, 的圓心
,半徑
,連結(jié)
,
過作
交
于點
,并設(shè)
.
由題意得,
所以,
又因為,所以
,
將代入整理可得
,
因為,所以
,,解得
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的多面體中, 平面
,
平面
,
,且
,
是
的中點.
(Ⅰ)求證: .
(Ⅱ)求平面與平面
所成的銳二面角的余弦值.
(Ⅲ)在棱上是否存在一點
,使得直線
與平面
所成的角是
.若存在,指出點
的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線,直線
過拋物線焦點,且與拋物線交于
,
兩點,以線段
為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線的位置關(guān)系是( )
A. 相離 B. 相交 C. 相切 D. 不確定
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中a∈R,曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線與y軸相交于點(0,6).
(1)確定a的值;
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某廣場有一塊不規(guī)則的綠地如圖所示,城建部門欲在該地上建造一個底座為三角形的環(huán)境標(biāo)志,小李,小王設(shè)計的底座形狀分別為,
,經(jīng)測量
米,
米,
米,
(I)求的長度;
(Ⅱ)若環(huán)境標(biāo)志的底座每平方米造價為元,不考慮其他因素,小李,小王誰的設(shè)計建造費用最低(請說明理由),最低造價為多少?(
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面
為平行四邊形,
,
是棱PD的中點,且
,
.
(I)求證: ; (Ⅱ)求二面角
的大�。�
(Ⅲ)若是
上一點,且直線
與平面
成角的正弦值為
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2016年9月3日,抗戰(zhàn)勝利71周年紀(jì)念活動在北京隆重舉行,受到全國人民的矚目.紀(jì)念活動包括舉行紀(jì)念大會、閱兵式、擁待會和文藝晚會等,據(jù)統(tǒng)計,抗戰(zhàn)老兵由于身體原因,參加紀(jì)念大會、閱兵式、招待會這個環(huán)節(jié)(可參加多個,也可都不參加)的情況及其概率如下表所示:
(Ⅰ)若m=2n,則從這60名抗戰(zhàn)老兵中按照參加紀(jì)念活動的環(huán)節(jié)數(shù)分層抽取6人進(jìn)行座談,求從參加紀(jì)念活動環(huán)節(jié)數(shù)為1的抗戰(zhàn)老兵中抽取的人數(shù);
(Ⅱ)某醫(yī)療部門決定從(Ⅰ)中抽取的6名抗戰(zhàn)老兵中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行體檢,求這2名抗戰(zhàn)老兵中至少有1人參加紀(jì)念活動的環(huán)節(jié)數(shù)為3的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐 底面為正方形,已知
,
,點
為線段
上任意一點(不含端點),點
在線段
上,且
.
(1)求證:;
(2)若 為線段
中點,求直線
與平面
所成的角的余弦值.
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