【題目】已知函數(shù)， （， 為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）試討論函數(shù)的極值情況；

（2）證明：當(dāng)且時，總有.

【答案】（1）見解析;（2）見解析.

【解析】試題分析：（1）求定義域內(nèi)的所有根；判斷的根左右兩側(cè)值的符號即可得結(jié)果；（2）當(dāng)時， ，研究函數(shù)的單調(diào)性，兩次求導(dǎo)，可證明在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)，進(jìn)而可得當(dāng)時， ，即可得結(jié)果.

試題解析：（1）的定義域為，

.

①當(dāng)時， ，故在內(nèi)單調(diào)遞減， 無極值；

②當(dāng)時，令，得；令，得.

故在處取得極大值，且極大值為， 無極小值.

（2）證法一：當(dāng)時， .

設(shè)函數(shù) ，

則.記，

則.

當(dāng)變化時， ， 的變化情況如下表：

由上表可知，

而 ，

由，知，

所以，

所以，即.

所以在內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù).

所以當(dāng)時， .

即當(dāng)且時， .

所以當(dāng)且時，總有.

證法二：當(dāng)時， .

因為且，故只需證.

當(dāng)時， 成立；

當(dāng)時， ，即證.

令，則由，得.

在內(nèi)， ；

在內(nèi)， ，

所以.

故當(dāng)時， 成立.

綜上得原不等式成立.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x ， 2≤x＜3}，U=R．
（1）求A∪B；
（2）求（UA）∩B．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）將圓的參數(shù)方程化為普通方程，再化為極坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）若點(diǎn)在直線上，當(dāng)點(diǎn)到圓的距離最小時，求點(diǎn)的極坐標(biāo).

閻愮懓鍤仦鏇炵磻鐎瑰本鏆ｆ０妯兼窗

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知一組數(shù)據(jù)x1 ， x2 ， x3 ， x4 ， x5的平均數(shù)是2，方差是 ，那么另一組數(shù)據(jù)3x1﹣2，3x2﹣2，3x3﹣3，3x4﹣2，3x5﹣2的平均數(shù)和方差分別為（ ）
A.2，
B.4，3
C.4，
D.2，1

閻愮懓鍤仦鏇炵磻鐎瑰本鏆ｆ０妯兼窗

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)y=x+ 有如下性質(zhì)：如果常數(shù)t＞0，那么該函數(shù)在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)．
（1）已知f（x）= ，x∈[﹣1，1]，利用上述性質(zhì)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和值域；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x）和函數(shù)g（x）=﹣x﹣2a，若對任意x1∈[﹣1，1]，總存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求實數(shù)a的值．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓C： （a＞b＞0）的離心率為 ，左焦點(diǎn)為F（﹣1，0），過點(diǎn)D（0，2）且斜率為k的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求k的取值范圍；
（3）在y軸上，是否存在定點(diǎn)E，使 恒為定值？若存在，求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和這個定值；若不存在，說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx．
（1）當(dāng)a=1時，求函數(shù)f（x）的極值；
（2）設(shè)定義在D上的函數(shù)y=g（x）在點(diǎn)P（x0 ， y0）處的切線方程為l：y=h（x）．當(dāng)x≠x0時，若 ＞0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=g（x）的“轉(zhuǎn)點(diǎn)”．當(dāng)a=8時，問函數(shù)y=f（x）是否存在“轉(zhuǎn)點(diǎn)”？若存在，求出“轉(zhuǎn)點(diǎn)”的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若函數(shù)f（x）對任意的x∈R都有f′（x）＞f（x）恒成立，則（ ）
A.3f（ln2）＞2f（ln3）
B.3f（ln2）=2f（ln3）
C.3f（ln2）＜2f（ln3）
D.3f（ln2）與2f（ln3）的大小不確定

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在極坐標(biāo)系中，曲線,曲線．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．

（1）求的直角坐標(biāo)方程；

（2）與交于不同的四點(diǎn)，這四點(diǎn)在上排列順次為,求的值．

閻愮懓鍤仦鏇炵磻鐎瑰本鏆ｆ０妯兼窗

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案
閸忥拷 闂傦拷