分析 (Ⅰ)由題意,max{an,bn}=max{1000n,2000kn},1000n-2000kn=1000(k−2)kn,分別求得k=1、k=2及k≥3時,分別求得max{an,bn};
(Ⅱ)當(dāng)k=2時,由(Ⅰ)可得dn=max{an,cn}=max{1000n,1500200−3n},根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得n=4009,dn取得最小值,44<4009<45,分別求得d44和d45,比較即可求得dn取得最小值;
(Ⅲ)由(II)可知,當(dāng)k=2時,dn的最小值為25011,當(dāng)k=1及k≥3時,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,分別求得可能取最小值時,n的取值,比較即可求得dn取得最小值;
解答 解:( I)由題意,max{an,bn}=max{1000n,2000kn},
因為1000n-2000kn=1000(k−2)kn,
所以,當(dāng)k=1時,1000n<2000kn,則max{an,bn}=bn=2000kn,
當(dāng)k=2時,1000n=2000kn,則max{an,bn}=an=1000n,
當(dāng)k≥3時,1000n>2000kn,則max{an,bn}=an=1000n.…(4分)
( II)當(dāng)k=2時,dn=max{an,bn,cn}=max{an,cn}=max{1000n,1500200−3n},
因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)1000n=1500200−3n時,dn取得最小值,此時n=4009.
又因為44<4009<45,
而d44=max{a44,c44}=a44=25011,d45=c45=30013,有d44<d45.
所以dn的最小值為25011.…(8分)
( III)由(II)可知,當(dāng)k=2時,dn的最小值為25011.
當(dāng)k=1時,dn=max{an,bn,cn}=max{bn,cn}=max{2000n,750100−n}.
因為數(shù)列{bn}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)2000n=750100−n時,dn取得最小值,此時n=80011.
又因為72<80011<73,
而d72=b72=2509,d72=c72=2509,.
此時dn的最小值為2509,2509>25011.
(2)k≥3時,1500200−(1+k)n≥1500200−4n=37550−n,an>bn,
所以dn=max{an,bn,cn}=max{an,cn}≥max{1000n,37550−n}.
設(shè)hn=max{1000n,37550−n},
因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{37550−n}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)1000n=37550−n時,hn取得最小值,此時n=40011.
又因為36<40011<37,
而h36=a36=2509,h37=37513,2509<37513.
此時dn的最小值為2509,2509>25011..
綜上,dn的最小值為d44=25011.…(14分)
點評 本題考查數(shù)列的新定義及數(shù)列的通項公式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求數(shù)列的最值,解題時要認(rèn)真審題,注意分類討論思想的合理運用,屬于中檔題.
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A. | ①② | B. | ②③ | C. | ①④ | D. | ②④ |
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A. | {0} | B. | {1} | C. | {1,2,} | D. | {0,1,2} |
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