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4.定義max{x1,x2,x3,…,xn}表示x1,x2,x3,…,xn中的最大值.
已知數(shù)列an=1000n,bn=2000m,cn=1500p,其中n+m+p=200,m=kn,n,m,p,k∈N*.記dn=max{an,bn,cn}
(Ⅰ)求max{an,bn}
(Ⅱ)當(dāng)k=2時,求dn的最小值;
(Ⅲ)?k∈N*,求dn的最小值.

分析 (Ⅰ)由題意,max{an,bn}=max{1000n,2000kn},1000n-2000kn=1000k2kn,分別求得k=1、k=2及k≥3時,分別求得max{an,bn};
(Ⅱ)當(dāng)k=2時,由(Ⅰ)可得dn=max{an,cn}=max{1000n,15002003n},根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求得n=4009,dn取得最小值,44<4009<45,分別求得d44和d45,比較即可求得dn取得最小值;
(Ⅲ)由(II)可知,當(dāng)k=2時,dn的最小值為25011,當(dāng)k=1及k≥3時,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,分別求得可能取最小值時,n的取值,比較即可求得dn取得最小值;

解答 解:( I)由題意,max{an,bn}=max{1000n,2000kn},
因為1000n-2000kn=1000k2kn
所以,當(dāng)k=1時,1000n2000kn,則max{an,bn}=bn=2000kn,
當(dāng)k=2時,1000n=2000kn,則max{an,bn}=an=1000n,
當(dāng)k≥3時,1000n2000kn,則max{an,bn}=an=1000n.…(4分)
( II)當(dāng)k=2時,dn=max{an,bn,cn}=max{an,cn}=max{1000n15002003n},
因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)1000n=15002003n時,dn取得最小值,此時n=4009
又因為44<4009<45,
而d44=max{a44,c44}=a44=25011,d45=c45=30013,有d44<d45
所以dn的最小值為25011.…(8分)
( III)由(II)可知,當(dāng)k=2時,dn的最小值為25011
當(dāng)k=1時,dn=max{an,bn,cn}=max{bn,cn}=max{2000n,750100n}.
因為數(shù)列{bn}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{cn}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)2000n=750100n時,dn取得最小值,此時n=80011
又因為72<80011<73,
而d72=b72=2509,d72=c72=2509,.
此時dn的最小值為2509,250925011
(2)k≥3時,15002001+kn15002004n=37550n,an>bn,
所以dn=max{an,bn,cn}=max{an,cn}≥max{1000n,37550n}.
設(shè)hn=max{1000n,37550n},
因為數(shù)列{an}為單調(diào)遞減數(shù)列,數(shù)列{37550n}為單調(diào)遞增數(shù)列,
所以當(dāng)1000n=37550n時,hn取得最小值,此時n=40011
又因為36<40011<37,
而h36=a36=2509,h37=37513,250937513
此時dn的最小值為2509,250925011..
綜上,dn的最小值為d44=25011.…(14分)

點評 本題考查數(shù)列的新定義及數(shù)列的通項公式,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求數(shù)列的最值,解題時要認(rèn)真審題,注意分類討論思想的合理運用,屬于中檔題.

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②若數(shù)列{an}是等差數(shù)列,bn=1n(a1+a2+a3+…+an),則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列;類比推出:若數(shù)列{cn}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列,dn=\root{n}{{c}_{1}•{c}_{2}•{c}_{3}•…•{c}_{n}},則數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列.
③若a、b、c∈R.則(ab)c=a(bc);類比推出:若a、、c為三個向量.則(a)•ca•(c
④若圓的半徑為a,則圓的面積為πa2;類比推出:若橢圓的長半軸長為a,短半軸長為b,則橢圓的面積為πab.
上述四個推理中,結(jié)論正確的是( �。�
A.①②B.②③C.①④D.②④

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