Question

14．已知拋物線D的頂點是雙曲線C：x²-$\frac{y^2}{15}$=1的中心，焦點與該雙曲線的右頂點重合．
（1）求拋物線D的方程；
（2）過雙曲線C的右焦點A的直線l交拋物線D于M，N兩點．若直線l的斜率為1，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）求出雙曲線的右頂點和拋物線的焦點坐標即可得到結(jié)論．
（2）求出直線的方程，結(jié)合拋物線的定義，利用直線和拋物線相交的弦長公式進行求解即可．

解答 解：（1）由雙曲線的方程得a=1，即雙曲線的右頂點為（1，0），
則拋物線的焦點為（1，0），即拋物線的方程為y²=4x．
（2）∵a=1，b²=15，∴c²=1+15=16，即c=4，
則雙曲線的右焦點A（4，0），
∵直線l的斜率為1，
∴直線的方程為y=x-4，代入y²=4x得（x-4）²=x-4，
即x²-9x+20=0，
則x₁+x₂=9，
則MN=x₁+x₂+p=x₁+x₂+2=9+2=11．

點評 本題主要考查拋物線方程的求解以及直線和拋物線相交時的弦長公式，利用拋物線的定義是解決本題的關(guān)鍵．