Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=BB₁=1，D是A₁C的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求BD的長；
（Ⅱ）求證：平面ABB₁⊥平面BDC．

Answer 1

考點(diǎn)：平面與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DO⊥平面ABC，利用勾股定理，即可求BD的長；
（Ⅱ）證明BC⊥平面ABB₁，即可證明平面ABB₁⊥平面BDC．

解答： （Ⅰ）解：取AC的中點(diǎn)O，連接DO，BO，則DO⊥平面ABC，
在Rt△BDO中，BO=

2

2

，DO=

1

2

，∴BD=

1 2 + 1 4

=

3

2

；
（Ⅱ）證明：∵∠ABC=90°，
∴BC⊥AB，
∵BB₁⊥BC，BB₁∩AB=B，
∴BC⊥平面ABB₁，
∵BC?平面BDC，
∴平面ABB₁⊥平面BDC．

點(diǎn)評：本題考查平面與平面垂直的判定，考查線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題．