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12.函數(shù)f(x)是定義在R上的減函數(shù),且f(x)>0恒成立,若對任意的x,y∈R,都有f(x-y)=fxfy
(1)求f(0)的值,并證明對任意的x,y∈R,f(x+y)=f(x)•f(y);
(2)若f(-1)=3,解不等式fx2f10f7x≤9.

分析 (1)利用賦值法結(jié)合條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解證明即可.
(2)根據(jù)抽象函數(shù)的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行求解即可.

解答 解:(1)令x=0,y=0得f(0)=f0f0=1,
∴f(0)=1…(1分)
令x=a+b,y=b,則x-y=a,
又∵f(x-y)=fxfy,
∴f(a+b)=f(a)•f(b)…(4分)
∴f(x+y)=f(x)•f(y)…(5分),
(2)由(1)知f(x2)•f(10)=f(x2+10),
fx2f10f7x=fx2+10f7x=f(x2-7x+10),
又∵f(-1)=3,∴9=3×3=f(-1)×f(-1)=f(-2)…(8分)
又∵fx2f10f7x≤9.
∴f(x2-7x+10)≤f(-2)…(9分)
又∵f(x)在R上單調(diào)遞減,
∴x2-7x+10≥-2…(10分),
解得:x≤3或x≥4,即原不等式的解集為(-∞,3)∪(4,+∞)…(12分)

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用,利用條件結(jié)合賦值法是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)冊系列答案
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A.B.C.D.

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②方程g[f(x)]=0有4個不同的實(shí)數(shù)根;
③方程f[f(x)]=0有5個不同的實(shí)數(shù)根;
④方程g[g(x)]=0有3個不同的實(shí)數(shù)根;
正確的命題是( �。�
A.②③④B.①④C.②③D.①②③④

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A.(-∞,0)∪(4,+∞)B.(-∞,2)∪(4,+∞)C.(2,4)D.(0,4)

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1.已知函數(shù)f(x)=\left\{\begin{array}{l}x+1\begin{array}{l},{\;\;x}\end{array}≤0,\\{log_2}x\begin{array}{l},{x>0}\end{array},\end{array}則方程f[f(x)]+1=0解的個數(shù)是( �。�
A.1B.2C.3D.4

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同步練習(xí)冊答案
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