已知函數(shù)(
).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(2)函數(shù)在定義域內(nèi)是否存在零點(diǎn)?若存在,請(qǐng)指出有幾個(gè)零點(diǎn);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若對(duì)任意
恒成立,求a的取值范圍.
(1)的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
.(2)當(dāng)
時(shí),函數(shù)
有兩個(gè)不同的零點(diǎn);當(dāng)
時(shí),函數(shù)
有且僅有一個(gè)零點(diǎn);當(dāng)
時(shí),函數(shù)
沒(méi)有零點(diǎn);(3)
a的取值范圍是.
【解析】
試題分析:(1)首先求導(dǎo):,再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)確定其單調(diào)性.
時(shí),函數(shù)
單調(diào)遞增;
時(shí),函數(shù)
單調(diào)減;(2)首先分離參數(shù).由
,得
.令
(
),下面就利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)
性質(zhì),然后結(jié)合圖象便可得知
的零點(diǎn)的個(gè)數(shù);(3)要使得
對(duì)任意
恒成立,只需
的最小值大于零即可. 由
,則
.當(dāng)
時(shí),對(duì)
,有
,所以函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,又
,即
對(duì)
恒成立.當(dāng)
時(shí),由(1),
單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
,若
對(duì)任意
恒成立,只需
,顯然不可能直接解這個(gè)不等式,下面利用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究,看在什么條件下這個(gè)不等式能成立.令
(
),
,即
在區(qū)間
上單調(diào)遞減,又
,故
在
上恒成立,也就是說(shuō)當(dāng)
時(shí),滿(mǎn)足
的a不存在.所以a的取值范圍是
.
(1)由,則
.
由,得
;由
,得
,
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為
,單調(diào)減區(qū)間為
. 4分
(2)函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111507033427996289/SYS201411150703394833468032_DA/SYS201411150703394833468032_DA.049.png">,由
,得
(
), 5分
令(
),則
,
由于,
,可知當(dāng)
,
;當(dāng)
時(shí),
,
故函數(shù)在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,故
. 6分
又由(1)知當(dāng)時(shí),對(duì)
,有
,即
, .7分
(隨著的增長(zhǎng),
的增長(zhǎng)速度越越快,會(huì)超過(guò)并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于
的增長(zhǎng)速度,而
的增長(zhǎng)速度則會(huì)越越慢.則當(dāng)
且
無(wú)限接近于0時(shí),
趨向于正無(wú)窮大.)
當(dāng)時(shí),函數(shù)
有兩個(gè)不同的零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)
有且僅有一個(gè)零點(diǎn);
當(dāng)時(shí),函數(shù)
沒(méi)有零點(diǎn). 9分
(3)由,則
.
①當(dāng)時(shí),對(duì)
,有
,所以函數(shù)
在區(qū)間
上單調(diào)遞增,又
,即
對(duì)
恒成立. 10分
②當(dāng)時(shí),由(1),
單調(diào)遞增區(qū)間為
,單調(diào)遞減區(qū)間為
,
若對(duì)任意
恒成立,只需
, 11分
令(
),
,
即在區(qū)間
上單調(diào)遞減,又
,故
在
上恒成立, 13分
故當(dāng)時(shí),滿(mǎn)足
的a不存在.
綜上所述,a的取值范圍是. 14分
考點(diǎn):1、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用;2、函數(shù)的零點(diǎn);3、導(dǎo)數(shù)與不等式.
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設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)若關(guān)于x的方程
有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,則m=( ).
(A)2 (B)4或6 (C)2或6 (D)6
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若變量滿(mǎn)足約束條件
且
的最大值為
,最小值為
,則
的值是( )
(A)16 (B)24 (C)30 (D)48
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在Rt△ABC中,,
,
,則
_____.
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如圖,已知A,B兩點(diǎn)分別在河的兩岸,某測(cè)量者在點(diǎn)A所在的河岸邊另選定一點(diǎn)C,測(cè)得m,
,
,則A、B兩點(diǎn)的距離為( )
(A)m (B)
m (C)
m (D)
m
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設(shè)平面向量,
,函數(shù)
.
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的取值范圍;
(2)當(dāng),且
時(shí),求
的值.
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設(shè)P是雙曲線(xiàn)上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn),
、
分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn),△
的內(nèi)切圓與邊
相切于點(diǎn)M,則
( )
(A)5 (B)4 (C)2 (D)1
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如圖,三棱錐中,
,
,
分別為
上的點(diǎn),則
周長(zhǎng)最小值為 .
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過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作直線(xiàn)
交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn),若線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,則
等于 .
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