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4.某商場柜臺銷售某種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為10元,并且每件產(chǎn)品需向該商場交a元(3≤a≤7)的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為x元(20≤x≤25)時,一天的銷售量為(x-30)2件.
(Ⅰ)求該柜臺一天的利潤f(x)(元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價為多少元時,該柜臺一天的利潤f(x)最大,并求出f(x)的最大值g(a).

分析 (Ⅰ)求出每件產(chǎn)品的利潤,乘以價格得到利潤L(萬元)與每件產(chǎn)品的售價x的函數(shù)關(guān)系式;
(Ⅱ)求出利潤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),由a的范圍得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的范圍,分類討論原函數(shù)在[9,11]上的單調(diào)性,并求出a在不同范圍內(nèi)的利潤函數(shù)的最值.

解答 解:(Ⅰ)f(x)=(x-30)2(x-10-a),20≤x≤25…(3分)
(Ⅱ)f'(x)=2(x-30)•(x-10-a)+(x-30)2=(3x-2a-50)(x-30).…(4分)
令f'(x)=0,則x=2a+503或x=30,…(5分)
3a75632a+503643…(6分)
∴①若2a+50320,即3≤a≤5時,f'(x)≤0,x∈[20,25],
∴f(x)在[20,25]上是減函數(shù).
fxmax=f20=302022010a=100(10-a)=1000-10a…(8分)
②若5<a≤7時,2a+503[2025]
當(dāng)x[203a+503]時,f'(x)>0,此時f(x)在[203a+503]是增函數(shù);
當(dāng)x[3a+50325]時,f'(x)<0,此時f(x)在[3a+50325]是減函數(shù).
fxmax=f2a+503=302a+50322a+50310a=2a403220a3=4a20327…(11分)
∴當(dāng)3≤a≤5時,售價為20元時利潤最大,最大利潤g(a)為1000-10a;
當(dāng)5<a≤7時,售價為2a+503元時利潤最大,最大利潤g(a)為4a20327.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等知識,考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力,是中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.已知函數(shù)f(x)=ax1x+1-lnx在[1,+∞)上是減函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為( �。�
A.a<1B.a<2C.a≤2D.a≤3

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

15.已知點(diǎn)O在平面ABC內(nèi),若AO=λ(AB|AB|+AC|AC|)(λ∈R),則直線AO經(jīng)過△ABC的內(nèi)心.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.已知:
1+12=32
1+12+13+14>2
1+12+13+14+15+16+17+1852
1+12+13+14+15+16+17+18+19+…+116>3

以此類推,寫出一般的結(jié)論并加以證明.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左頂點(diǎn)與拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的距離為3,且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1),則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為( �。�
A.x22-y22=1B.x24-y24=1C.x24-y2=1D.x22-y2=1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

9.P為雙曲線x2-y23=1的漸近線位于第一象限上的一點(diǎn),若點(diǎn)P到該雙曲線左焦點(diǎn)的距離為23,則點(diǎn)P到其右焦點(diǎn)的距離為( �。�
A.2B.3C.2D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

16.(1)已知p3+q3=2,求證p+q≤2,用反證法證明時,可假設(shè)p+q≥2,
(2)已知a,b∈R,|a|+|b|<1,求證方程x2+ax+b=0的兩根的絕對值都小于1.
用反證法證明時可假設(shè)方程至少有一根的絕對值大于或等于1.以下結(jié)論正確的是(  )
A.(1)與(2)的假設(shè)都錯誤B.(1)與(2)的假設(shè)都正確
C.(1)的假設(shè)錯誤;(2)的假設(shè)正確D.(1)的假設(shè)正確;(2)的假設(shè)錯誤

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

13.過雙曲線C:x2a2-y22=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)F作直線y=ax的垂線,垂足為A,交C的左支于B點(diǎn),若OF+OB=2OA,則C的離心率為(  )
A.3B.2C.5D.7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.同時具有性質(zhì):
①最小正周期是π;
②圖象關(guān)于直線x=\frac{π}{3}對稱;
③在區(qū)間[{\frac{5π}{6},π}]上是單調(diào)遞增函數(shù)”的一個函數(shù)可以是(  )
A.y=cos(\frac{x}{2}+\frac{π}{6})B.y=sin(2x+\frac{5π}{6})C.y=cos(2x-\frac{π}{3})D.y=sin(2x-\frac{π}{6})

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同步練習(xí)冊答案
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