Question

7．已知三棱錐P-ABC中，底面△ABC是邊長為3的等邊三角形，側(cè)棱長都相等，半徑為$\sqrt{7}$的球O過三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到面ABC的距離為$\sqrt{7}±2$．

Answer 1

分析 設(shè)P在底面的射影是E，則E為底面正三角形的中心．連接AE并延長交BC于D，則三棱錐P-ABC的外接球的球心O在PE上，連接OA，在Rt△AOE中算出OE=2，由PE=PO±OE得答案．

解答 解：根據(jù)題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設(shè)P在底面的射影是E，則E為底面正三角形的中心．
連接AE并延長交BC于D，則三棱錐P-ABC的外接球的球心O在PE上，連接OA，
∵△ABC是邊長為3的等邊三角形，
∴AE=$\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\sqrt{{3}^{2}-（\frac{3}{2}）^{2}}=\frac{2}{3}×\frac{3}{2}\sqrt{3}=\sqrt{3}$，
又AO=$\sqrt{7}$，
∴$OE=\sqrt{O{A}^{2}-A{E}^{2}}=\sqrt{（\sqrt{7}）^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}=2$，
∴PE=PO±OE=$\sqrt{7}±2$．
故答案為：$\sqrt{7}±2$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中點(diǎn)線面位置關(guān)系的應(yīng)用，考查空間想象能力和思維能力，著重考查了正棱錐的性質(zhì)和球內(nèi)接多面體的計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．