某工廠需要生產(chǎn)x個(gè)零件(50≤x≤150,x∈N*),經(jīng)市場調(diào)查得知,生產(chǎn)成本包括以下三個(gè)方面:①生產(chǎn)1個(gè)零件需要原料費(fèi)50元;②支付職工的工資由6000元的基本工資和每生產(chǎn)1個(gè)零件補(bǔ)貼20元組成;③所生產(chǎn)零件的保養(yǎng)總費(fèi)用是(x2-30x+400)元.
(1)把生產(chǎn)每個(gè)零件的平均成本P(x)表示為x的函數(shù)關(guān)系式,并求P(x)的最小值;
(2)假設(shè)生產(chǎn)的零件可以全部賣出,據(jù)測算,銷售收入Q(x)關(guān)于產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為Q(x)=1240x-
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x3,那么當(dāng)產(chǎn)量為多少時(shí)生產(chǎn)這批零件的利潤最大?
考點(diǎn):函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用
專題:計(jì)算題,應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用
分析:(1)由題意P(x)=
50x+6000+20x+x2-30x+400
x
=x+
6400
x
+40,(50≤x≤150,x∈N*);從而利用基本不等式求最值;
(2)設(shè)利潤為y元,則y=Q(x)-P(x)•x=-
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x3-x2+1200x-6400;求導(dǎo)y′=-
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x2-2x+1200=-
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(x-100)(x+120);從而確定最大值點(diǎn).
解答: 解:(1)P(x)=
50x+6000+20x+x2-30x+400
x
=x+
6400
x
+40,(50≤x≤150,x∈N*);
則x+
6400
x
+40≥2×80+40=200;
(當(dāng)且僅當(dāng)x=
6400
x
,即x=80時(shí),等號成立);
故P(x)的最小值為200元;
(2)由題意,設(shè)利潤為y元,
則y=Q(x)-P(x)•x
=1240x-
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x3-(x2+40x+6400)
=-
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x3-x2+1200x-6400;
y′=-
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x2-2x+1200
=-
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(x-100)(x+120);
故y=-
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x3-x2+1200x-6400在(50,100)上是增函數(shù),
在(100,150)上是減函數(shù);
故當(dāng)產(chǎn)量為100個(gè)零件時(shí)生產(chǎn)這批零件的利潤最大.
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,同時(shí)考查了基本不等式與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.
練習(xí)冊系列答案
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(1)當(dāng)m=3時(shí),若“p且q”為真,求實(shí)數(shù)x的取值范圍;
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2
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a2
c
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