如圖所示,在四棱錐

中,底面

為矩形,

平面

,點(diǎn)

在線段

上,

平面

.

(1)證明:

平面

.;
(2)若

,求三棱錐

的體積.
(1)見(jiàn)解析(2)

試題分析:(1)要證

平面

,需證

與平面

內(nèi)的兩條相交直線都垂直,
由

平面

,可證

,由

平面

,可證

.根據(jù)線面垂直的判定定理,
可證

平面

.(2)設(shè)矩形

的對(duì)角線的交點(diǎn)為

,連結(jié)

,由(1)的結(jié)論可知

平面

,從而有

,所以矩形

為正方形,邊長(zhǎng)為2;由

平面

,知

,因此

與

相似,可確定

的各邊長(zhǎng),然后由

求三棱錐

的體積.
試題解析:(1)∵PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵PC⊥平面BDE,
∴PC⊥BD.
又PA∩PC=P,∴BD⊥平面PAC. 6分

(2)如圖,設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O,連結(jié)OE.
∵PC⊥平面BDE,∴PC⊥OE.
由(1)知,BD⊥平面PAC,∴BD⊥AC,
由題設(shè)條件知,四邊形ABCD為正方形.
由AD=2,得AC=BD=2

,OC=

.
在Rt△PAC中,PC=

=

=3.
易知Rt△PAC∽R(shí)t△OEC,
∴

=

=

,即

=

=

,∴OE=

,CE=

.
∴V
E-BCD=

S
△CEO·BD=

·

OE·CE·BD=

·

·

·2

=

. 13分
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
如圖,四棱錐

中,底面

是菱形,

,

,

是

的中點(diǎn),點(diǎn)

在側(cè)棱

上.

(1)求證:

⊥平面

;
(2)若

是

的中點(diǎn),求證:

//平面

;
(3)若

,試求

的值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上,若正方體的棱長(zhǎng)為

,則球的體積為
.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:解答題
在等腰梯形
ABCD中,
AB∥
CD,
AB=
BC=
AD=2,
CD=4,
E為邊
DC的中點(diǎn),如圖1.將△
ADE沿
AE折起到△
AEP位置,連
PB、
PC,點(diǎn)
Q是棱
AE的中點(diǎn),點(diǎn)
M在棱
PC上,如圖2.

(1)若
PA∥平面
MQB,求
PM∶
MC;
(2)若平面
AEP⊥平面
ABCE,點(diǎn)
M是
PC的中點(diǎn),求三棱錐
A
MQB的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:單選題
一個(gè)空間幾何體的三視圖均是邊長(zhǎng)為

的正方形,則以該空間幾何體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為( ).

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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
已知矩形
ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為5的球
O的球面上,且
AB=8,
BC=2

,則棱錐
O-ABCD的體積為_(kāi)_______.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
一個(gè)底面為正三角形,側(cè)棱與底面垂直的棱柱,其三視圖如圖所示,則這個(gè)棱柱的體積為
______.

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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
棱長(zhǎng)為2的正方體的外接球的表面積為 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來(lái)源:不詳
題型:填空題
若將邊長(zhǎng)為

的正方形繞其一條邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周,則所形成圓柱的體積等于

.
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