Question

20．如圖，PM是圓O的切線，M為切點(diǎn)，PAB是圓的割線，AD∥PM，點(diǎn)D在圓上，AD與MB交于點(diǎn)C．若AB=6，BC=4，AC=3，則MD等于（　�。�

• A． 2
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{9}{4}$
• D． $\frac{4}{9}$

Answer 1

分析 證明△BMA∽△AMC，得出MC=$\frac{4}{3}$，再利用相交弦定理，求出CD，利用△MCD∽△ACB，求出MD．

解答 解：由題意，連接AM，則
∵PM是圓O的切線，M為切點(diǎn)，
∴∠PMA=∠PBM，
∵AD∥PM，
∴∠PMA=∠MAC，
∴∠MAC=∠ABM，
∵∠AMB=∠CMA，
∴△BMA∽△AMC，
∴$\frac{BM}{AM}=\frac{MA}{MC}$=$\frac{BA}{AC}$，
∵AB=6，AC=3，
∴BM=2AM，AM=2MC，
∴BM=4MC，
∴4+MC=4MC，
∴MC=$\frac{4}{3}$．
由相交弦定理可得3CD=$\frac{4}{3}×4$，
∴CD=$\frac{16}{9}$．
∵△MCD∽△ACB，
∴$\frac{MD}{AB}$=$\frac{CD}{CB}$，
∴MD=$\frac{8}{3}$
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形相似的判定與性質(zhì)，考查相交弦定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．