Question

12．如圖所示，長方體ABCD-EFGH，底面是邊長為2$\sqrt{3}$的正方形，DH=2，P為AH中點．
（1）求四棱錐F-ABCD的體積；
（2）若點M在正方形ABCD內(nèi)（包括邊界），且三棱錐P-AMB體積是四棱錐F-ABCD體積的$\frac{1}{8}$，請指出滿足要求的點M的軌跡，并在圖中畫出軌跡圖形．

Answer 1

分析 （1）V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•DH$；
（2）設(shè)點M到AB的距離為h，則V_P-AMB=$\frac{1}{3}$S_△AMB•1=1，解出h即可得出M的軌跡．

解答 解：（1）V_F-ABCD=$\frac{1}{3}{S}_{正方形ABCD}•DH$=$\frac{1}{3}×（2\sqrt{3}）^{2}×2$=8．
（2）設(shè)點M到AB的距離為h，則S_△AMB=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×h$=$\sqrt{3}h$．
∵P為AH的中點，
∴點P到平面AMB的距離為1，
∴V_P-AMB=$\frac{1}{3}{S}_{△AMB}•1$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}h×1$=$\frac{1}{8}×8$=1，
∴$h=\sqrt{3}$，
∴點M的軌跡是連接AD中點和BC中點的線段．

點評 本題考查了棱錐的體積計算，屬于基礎(chǔ)題．