Question

5．已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0，且a₁=3．
（1）寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）48是數(shù)列中的項(xiàng)嗎？若是，是第幾項(xiàng)，若不是，說(shuō)明理由；
（3）若b_n=2a_n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，求S_n．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）假設(shè)48是數(shù)列中的項(xiàng)，令48=3×2^n-1．解出即可判斷出結(jié)論．
（3）b_n=2a_n-1=3×2ⁿ-1，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}滿足a_n+1-2a_n=0，即a_n+1=2a_n，且a₁=3．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為2．
∴a_n=3×2^n-1．
（2）假設(shè)48是數(shù)列中的項(xiàng)，令48=3×2^n-1．
解得n=5，
∴48是數(shù)列中的第5項(xiàng)．
（3）b_n=2a_n-1=3×2ⁿ-1，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n=$6×\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-n=3×2ⁿ⁺¹-6-n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．