Question

已知凼數(shù)f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

，x∈R，求函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡(jiǎn)函數(shù)解析式可得f（x）=2sin（2x+

π

6

），由x∈[-

π

4

，

π

2

]，可得2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，從而解得f（x）=2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]，即可求函數(shù)f（x）在[-

π

4

，

π

2

]上的最值．

解答： 解：∵f（x）=2

3

sinxcosx-sin²x+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x-

1

2

+

1

2

cos2x+

1

2

cos2x+

1

2

=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）
∵x∈[-

π

4

，

π

2

]
∴2x+

π

6

∈[-

π

3

，

7π

6

]，
∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）∈[-

3

，2]．
∴f（x）_max=2，f（x）_min=-

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，屬于基本知識(shí)的考查．