Question

1．我們在學習立體幾何推導球的體積公式時，用到了祖日恒原理：即兩個等高的幾何體，被等高的截面所截，若所截得的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等．類比此方法：求雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0），與x軸，直線y=h（h＞0）及漸近線$y=\frac{a}x$所圍成的陰影部分（如圖）繞y軸旋轉一周所得的幾何體的體積a²hπ．

Answer 1

分析 確定AC²-BC²=a²，由祖暅原理知，此旋轉體的體積，等價于一個半徑為a，高為h的柱體的體積．

解答 解：由題意，圖形是一個圓環(huán)，圓環(huán)的半徑為AC，BC，其面積S=π（AC²-BC²）
∵$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$⇒$A{C^2}={a^2}+\frac{a^2}{b^2}{m^2}$，
同理$B{C^2}=\frac{a^2}{b^2}{m^2}$
∴AC²-BC²=a²，由祖暅原理知，此旋轉體的體積，等價于一個半徑為a，高為h的柱體的體積為a²hπ．
故答案為：a²hπ．

點評 本題主要考查祖暅原理的應用，求旋轉體的體積的方法，體現(xiàn)了等價轉化、數(shù)形結合的數(shù)學思想，屬于基礎題．