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17.設(shè)F1(-c,0),F(xiàn)2(c,0)分別為橢圓E:x2m+y24m=1的左、右焦點.
(1)若橢圓的離心率是63,求橢圓的方程,并寫出m的取值范圍;
(2)設(shè)P(x0,y0)為橢圓E上一點,且在第一象限內(nèi),直線F2P與y軸相交于點Q,若以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F1,證明:點P在直線x+y-2=0上.

分析 (1)根據(jù)橢圓的性質(zhì),m>4-m,4-m>0,即可求得m的取值范圍,求得a=m,c2=2m-4,由離心率公式e=ca,即可求得m的值,求得橢圓方程;
(2)設(shè)P(x0,y0),分別求得直線F1P的斜率及直線F1Q的斜率kF1PkF1Q,由kF1PkF1Q=-1,代入求得x20m+y204m=1,x0>0,y0>0,即可求得x0+y0=2,點P在直線x+y-2=0上.

解答 解:(1)由x2m+y24m=1焦點在x軸上,
∴m>4-m,解得:m>2,
4-m>0,m<4,
∴m的取值范圍(2,4)
c2=m-(4-m)=2m-4,
e=ca=c2a2=2m4m=63,
解得:m=3,
∴橢圓方程為:x23+y2=1;
(2)證明:由題意可知:c2=m-(4-m)=2m-4,
設(shè)P(x0,y0),由題意可知:x0≠0,
則直線F1P的斜率kF1P=y0c+x0,直線F2P的斜率kF2P=y0x0c,
∴直線F2P的方程為:y=y0x0c(x-c),
當(dāng)x=0時,y=-y0x0cc,即點Q(0,-y0x0cc),
∴直線F1Q的斜率kF1Q=y0cx0,
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F1
kF1PkF1Q=y0c+x0y0cx0=-1,
化簡得:y20=x20-(2m2-4),
∵P為橢圓E上的一點,且在第一象限內(nèi),
x20m+y204m=1,x0>0,y0>0,
解得:x0=a22,y0=2-12a2,
∴x0+y0=2,
∴即點P直線x+y-2=0上.

點評 本題考查橢圓的定義及其標準方程,直線與圓的位置關(guān)系,斜率等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.

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