分析 (1)根據(jù)橢圓的性質(zhì),m>4-m,4-m>0,即可求得m的取值范圍,求得a=m,c2=2m-4,由離心率公式e=ca,即可求得m的值,求得橢圓方程;
(2)設(shè)P(x0,y0),分別求得直線F1P的斜率及直線F1Q的斜率kF1P和kF1Q,由kF1P•kF1Q=-1,代入求得x20m+y204−m=1,x0>0,y0>0,即可求得x0+y0=2,點P在直線x+y-2=0上.
解答 解:(1)由x2m+y24−m=1焦點在x軸上,
∴m>4-m,解得:m>2,
4-m>0,m<4,
∴m的取值范圍(2,4)
c2=m-(4-m)=2m-4,
e=ca=√c2a2=√2m−4m=√63,
解得:m=3,
∴橢圓方程為:x23+y2=1;
(2)證明:由題意可知:c2=m-(4-m)=2m-4,
設(shè)P(x0,y0),由題意可知:x0≠0,
則直線F1P的斜率kF1P=y0c+x0,直線F2P的斜率kF2P=y0x0−c,
∴直線F2P的方程為:y=y0x0−c(x-c),
當(dāng)x=0時,y=-y0x0−cc,即點Q(0,-y0x0−cc),
∴直線F1Q的斜率kF1Q=y0c−x0,
∵以PQ為直徑的圓經(jīng)過點F1,
∴kF1P•kF1Q=y0c+x0•y0c−x0=-1,
化簡得:y20=x20-(2m2-4),
∵P為橢圓E上的一點,且在第一象限內(nèi),
∴x20m+y204−m=1,x0>0,y0>0,
解得:x0=a22,y0=2-12a2,
∴x0+y0=2,
∴即點P直線x+y-2=0上.
點評 本題考查橢圓的定義及其標準方程,直線與圓的位置關(guān)系,斜率等基礎(chǔ)知識,考查運算能力,注意解題方法的積累,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | 12種 | B. | 6種 | C. | 4種 | D. | 3種 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題
A. | √2,1 | B. | √2,5 | C. | ±√2,5 | D. | ±√2,1 |
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