Question

5．已知A、B、C、D、E五所高校舉行自主招生考試，某同學決定按A、B、C、D、E的順序參加考試．假設該同學參加每所高校的考試獲得通過的概率為$\frac{1}{3}$．
（1）如果該同學五所高校的考試都參加，求在恰有兩所通過的條件下，不是連續(xù)兩所通過的概率；
（2）如果該同學一旦通過某所高校的考試，就不再參加后面高校的考試，假設參加每所高校考試所需的費用均為162元，試求該同學參加考試所需費用X的數(shù)學期望．

Answer 1

分析 （1）先求出該同學恰好通過兩所高校自主招生考試的概率和恰好通過兩所但不是連續(xù)兩所的概率，由此能求出在恰有兩所通過的條件下，不是連續(xù)兩所通過的概率．
（2）該同學參加考試所需費用X的可能取值為162，324，486，648，810，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）該同學恰好通過兩所高校自主招生考試的概率為${C}_{5}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{80}{243}$，
恰好通過兩所但不是連續(xù)兩所的概率為（${C}_{5}^{2}-4$）（$\frac{1}{3}$）²（1-$\frac{1}{3}$）³=$\frac{16}{81}$，
∴在恰有兩所通過的條件下，不是連續(xù)兩所通過的概率為：
p=$\frac{{C}_{5}^{2}-4}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（2）該同學參加考試所需費用X的可能取值為162，324，486，648，810，
P（X=162）=$\frac{1}{3}$，
P（X=324）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
P（X=486）=$（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{27}$，
P（X=648）=$（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=810）=$（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
∴X的分布列為：

X	162	324	486	648	810
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{16}{81}$

E（X）=$162×\frac{1}{3}+324×\frac{2}{9}$+$486×\frac{4}{27}+648×\frac{8}{81}$+810×$\frac{16}{81}$=422（元）．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意條件概率公式的合理運用．