Question

5．已知A、B、C、D、E五所高校舉行自主招生考試，某同學(xué)決定按A、B、C、D、E的順序參加考試．假設(shè)該同學(xué)參加每所高校的考試獲得通過的概率為$\frac{1}{3}$．
（1）如果該同學(xué)五所高校的考試都參加，求在恰有兩所通過的條件下，不是連續(xù)兩所通過的概率；
（2）如果該同學(xué)一旦通過某所高校的考試，就不再參加后面高校的考試，假設(shè)參加每所高�？荚囁璧馁M(fèi)用均為162元，試求該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用X的數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）先求出該同學(xué)恰好通過兩所高校自主招生考試的概率和恰好通過兩所但不是連續(xù)兩所的概率，由此能求出在恰有兩所通過的條件下，不是連續(xù)兩所通過的概率．
（2）該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用X的可能取值為162，324，486，648，810，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．

解答 解：（1）該同學(xué)恰好通過兩所高校自主招生考試的概率為${C}_{5}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（1-\frac{1}{3}）^{3}$=$\frac{80}{243}$，
恰好通過兩所但不是連續(xù)兩所的概率為（${C}_{5}^{2}-4$）（$\frac{1}{3}$）²（1-$\frac{1}{3}$）³=$\frac{16}{81}$，
∴在恰有兩所通過的條件下，不是連續(xù)兩所通過的概率為：
p=$\frac{{C}_{5}^{2}-4}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$．
（2）該同學(xué)參加考試所需費(fèi)用X的可能取值為162，324，486，648，810，
P（X=162）=$\frac{1}{3}$，
P（X=324）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$，
P（X=486）=$（\frac{2}{3}）^{2}（\frac{1}{3}）$=$\frac{4}{27}$，
P（X=648）=$（\frac{2}{3}）^{3}（\frac{1}{3}）$=$\frac{8}{81}$，
P（X=810）=$（\frac{2}{3}）^{4}$=$\frac{16}{81}$，
∴X的分布列為：

X	162	324	486	648	810
P	$\frac{1}{3}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{27}$	$\frac{8}{81}$	$\frac{16}{81}$

E（X）=$162×\frac{1}{3}+324×\frac{2}{9}$+$486×\frac{4}{27}+648×\frac{8}{81}$+810×$\frac{16}{81}$=422（元）．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意條件概率公式的合理運(yùn)用．