Question

3．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，連接橢圓C的四個頂點所形成的四邊形面積為4$\sqrt{3}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過橢圓C的下頂點A作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓C于點M，N，設直線AM的斜率為k，直線l：y=$\frac{{k}^{2}-1}{k}$x分別與直線AM，AN交于點P，Q，記△AMN，△APQ的面積分別為S₁，S₂，是否存在直線l，使得$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{64}{65}$？若存在，求出所有直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率公式及菱形的面積公式求得a和b的值，可求得橢圓的方程；
（2）利用橢圓方程及直線AM，AN的方程求得x_M、x_N、x_P及x_Q的值根據(jù)三角形面積公式求得k的值，求得直線方程．

解答 解：（1）由題意可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}{a}$=$\frac{1}{2}$，且2ab=4$\sqrt{3}$，且a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
（2）由（1）可知，A（0，-$\sqrt{3}$），則直線AM的方程為y=kx-$\sqrt{3}$，
將直線方程代入橢圓方程得：消去并整理得：（3+4k²）x²-8$\sqrt{3}$kx=0，
解得x_M=$\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}$，
直線AN的方程y=-$\frac{1}{k}$-$\sqrt{3}$，同理可得：x_N=-$\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}$，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-\sqrt{3}}\\{y=\frac{{k}^{2}-1}{k}x}\end{array}\right.$解得x_P=$\sqrt{3}$k，同理可得x_Q=-$\frac{\sqrt{3}}{k}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}AM•AN}{\frac{1}{2}AP•AQ}$=丨$\frac{-\frac{8\sqrt{3}k}{3+4{k}^{2}}•\frac{8\sqrt{3}k}{3{k}^{2}+4}}{-\sqrt{3}k•\frac{\sqrt{3}}{k}}$丨=$\frac{64{k}^{2}}{（3+4{k}^{2}）（3{k}^{2}+4）}$=$\frac{64}{65}$，
即3k⁴-10k²+3=0，
解得k²=3或k²=$\frac{1}{3}$，
所以$\frac{{k}^{2}-1}{k}$=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$或-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$，
故存在直線l：y=$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x，y=-$\frac{2}{3}\sqrt{3}$x，滿足題意．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、對角線相互垂直的四邊形的面積計算公式、三角形面積公式，要求有較強的推理能力和計算能力，屬于中檔題，．