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5.已知單調(diào)遞增數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足Sn=12a2n+n).求a1及數(shù)列{an}的通項公式.

分析 把n=1代入Sn=12a2n+n)解方程可得a1=1,再Sn=12a2n+n)和Sn+1=12(an+12+n+1)兩式相減可得an+1-1=an或an+1-1=-an,分別結合單調(diào)性可得.

解答 解:∵Sn=12a2n+n),∴S1=12(a12+1),
即a1=12(a12+1),解得a1=1,
∵Sn=12a2n+n),∴Sn+1=12(an+12+n+1),
兩式相減可得Sn+1-Sn=12(an+12+n+1)-12a2n+n),
即an+1=12(an+12-a2n+1),即2an+1=an+12-a2n+1,
∴an+12-2an+1+1=a2n,即(an+1-1)2=a2n,
∴an+1-1=an或an+1-1=-an,
當an+1-1=an時an+1-an=1,數(shù)列為公差為1的等差數(shù)列,
滿足單調(diào)遞增,此時{an}的通項公式an=1+n-1=n;
當an+1-1=-an時an+1+an=1,數(shù)列為擺動數(shù)列,不滿足單調(diào)遞增.
綜上可得a1=1,an=n.

點評 本題考查數(shù)列的遞推公式,涉及分類討論思想和等差數(shù)列的判定,屬中檔題.

練習冊系列答案
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