【題目】已知函數(shù),
,
,
,給出以下四個命題:①
為偶函數(shù);②
為偶函數(shù);③
的最小值為0;④
有兩個零點.其中真命題的是( ).
A.②④B.①③C.①③④D.①④
【答案】C
【解析】
分別表示出和
,判斷其奇偶性,利用導數(shù)研究其單調(diào)性和最值以及零點,從而做出判斷,得到答案.
函數(shù),
∵,
定義域為,關于原點對稱
,
∴為偶函數(shù),①正確;
∵的定義域不關于原點對稱,
∴為非奇非偶函數(shù),②錯誤;
∵,
∴當時,
;當
時,
.
∴在
上單調(diào)遞減,在
上單調(diào)遞增,∴
.
考查函數(shù),令
,
,則
或
,
當時,
單調(diào)遞增,
單調(diào)遞減,∴
單調(diào)遞減;
當時,
單調(diào)遞增,
單調(diào)遞增,∴
單調(diào)遞增,
∴時,∴
,又
為偶函數(shù),
∴時,∴
,③正確.
考查函數(shù),令
得
,
∵,∴
,又
,
,
∴直線與函數(shù)
恰有兩個交點,故
有兩個零點,④正確.
故選:C.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數(shù)學家、物理學家,對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調(diào)查中學生對這一偉大科學家的了解程度,某調(diào)查小組隨機抽取了某市的100名高中生,請他們列舉阿基米德的成就,把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”,少于三項的稱為“不太了解”.他們的調(diào)查結果如下:
0項 | 1項 | 2項 | 3項 | 4項 | 5項 | 5項以上 | |
理科生(人) | 1 | 10 | 17 | 14 | 14 | 10 | 4 |
文科生(人) | 0 | 8 | 10 | 6 | 3 | 2 | 1 |
(1)完成如下列聯(lián)表,并判斷是否有
的把握認為,了解阿基米德與選擇文理科有關?
比較了解 | 不太了解 | 合計 | |
理科生 | |||
文科生 | |||
合計 |
(2)在抽取的100名高中生中,按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.
(i)求抽取的文科生和理科生的人數(shù);
(ii)從10人的樣本中隨機抽取3人,用表示這3人中文科生的人數(shù),求
的分布列和數(shù)學期望.
參考數(shù)據(jù):
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
,
.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線過橢圓
的右焦點,且交橢圓于A,B兩點,線段AB的中點是
,
(1)求橢圓的方程;
(2)過原點的直線l與線段AB相交(不含端點)且交橢圓于C,D兩點,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知為拋物線
上的一點,
,
為拋物線上異于點
的兩點,且直線
的斜率與直線
的斜率互為相反數(shù).
(1)求直線的斜率;
(2)設直線過點
并交拋物線于
,
兩點,且
,直線
與
軸交于點
,試探究
與
的夾角是否為定值,若是則求出定值,若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過點的動直線l與y軸交于點
,過點T且垂直于l的直線
與直線
相交于點M.
(1)求M的軌跡方程;
(2)設M位于第一象限,以AM為直徑的圓與y軸相交于點N,且
,求
的值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)有邊長均為1的正方形正五邊形正六邊形及半徑為1的圓各一個,在水平桌面上無滑動滾動一周,它們的中心的運動軌跡長分別為,
,
,
,則( )
A.B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐E﹣ABCD的側(cè)棱DE與四棱錐F﹣ABCD的側(cè)棱BF都與底面ABCD垂直,AD⊥CD,AB∥CD,AB=3,AD=4,AE=5,.
(1)證明:DF∥平面BCE.
(2)求A到平面BEDF的距離,并求四棱錐A﹣BEDF的體積.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在如圖所示的四棱錐中,四邊形
是等腰梯形,
,
,
平面
,
,
.
(1)求證:平面
;
(2)已知二面角的余弦值為
,求直線
與平面
所成角的正弦值.
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