Question

3．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1與圓N：x²+（y-m）²=1相切，A（-$\sqrt{m+1}$，0），B（$\sqrt{m+1}$，0），若圓N上存在一點P滿足|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$，則點P到x軸的距離為（　　）

• A． m³
• B． m²
• C． m
• D． $\frac{1}{m}$

Answer 1

分析 聯(lián)立方程組，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)曲線相切，利用判別式△=0，得到m的關(guān)系，結(jié)合雙曲線的定義進行求解即可．

解答 解：聯(lián)立雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1與圓N：x²+（y-m）²=1，消去x得（m+1）y²-2my+m²+m-1=0，
∵雙曲線M：$\frac{{x}^{2}}{m}$-y²=1與圓N：x²+（y-m）²=1相切，
∴判別式△=4m²-4（m+1）（m²+m-1）=0，
∴（m+1）m²=1，
∴m+1=$\frac{1}{{m}^{2}}$，
易知A，B分別為雙曲線的左右焦點，
又|PA|-|PB|=2$\sqrt{m}$，
故由雙曲線的定義知P在雙曲線M上，且P為右切點，
由韋達定理得2y_P=$\frac{2m}{m+1}=\frac{2m}{\frac{1}{{m}^{2}}}$=2m³，
∴y_P=m³，
即點P到x軸的距離為m³，
故選：A

點評 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用，利用曲線相切，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式△=0求出m的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．