Question

7．求證：x-sinx＜tanx-x，$x∈（0\;，\;\frac{π}{2}）$．

Answer 1

分析 當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，令g（x）=tanx-x-（x-sinx），根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)可得g′（x）＞0，可得g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，進(jìn)而得證x-sinx＜tanx-x．

解答 證明：當(dāng)0＜x＜$\frac{π}{2}$時(shí)，
令g（x）=tanx-x-（x-sinx），
則g′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1-（1-cosx）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$+cosx-2＞0，
故g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，
故g（x）＞g（0）=0，
∴tanx-x-（x-sinx）＞0，
∴x-sinx＜tanx-x．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)線的定義，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題．