Question

15．如圖所示，足夠長(zhǎng)的水平導(dǎo)體框架的寬度為L(zhǎng)，電阻可忽略不計(jì)，左端接一阻值為R的定值電阻．磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于導(dǎo)體框平面向上，一根質(zhì)量為m、有效電阻為r的導(dǎo)體棒MN垂直跨放在框架上，該導(dǎo)體棒與框架間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，導(dǎo)體棒在水平力的作用下由靜止開始沿框架以加速度a做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，求：
（1）從靜止開始經(jīng)時(shí)間t內(nèi)通過電阻R的電荷量q；
（2）寫出水平力F關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式；
（3）如果從靜止開始經(jīng)時(shí)間t在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，則該過程中外力做功為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電量公式q=It及運(yùn)動(dòng)學(xué)位移時(shí)間公式結(jié)合，可求得電荷量q．
（2）推導(dǎo)出安培力與時(shí)間t的關(guān)系式，再由牛頓第二定律得到F與t的表達(dá)式．
（3）外力做功等于回路產(chǎn)生的焦耳熱、摩擦生熱和棒獲得的動(dòng)能之和，根據(jù)功能關(guān)系求解．

解答 解：（1）時(shí)間t內(nèi)通過電阻R的電荷量為：q=$\overline{I}$t
電流的平均值為：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R+r}$
感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)平均值為：$\overline{E}$=BL$\overline{v}$
聯(lián)立得：q=$\frac{BL\overline{v}t}{R+r}$
根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有：$\overline{v}$t=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
所以有：q=$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$
（2）t時(shí)刻導(dǎo)體棒的速度為：v=at
產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BLv
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R+r}$
金屬棒所受的安培力大小為：F_安=BIL
聯(lián)立以上四式得：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$
根據(jù)牛頓第二定律得：F-μmg-F_安=ma
則得：F=μmg+ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$
（3）f時(shí)間內(nèi)棒通過的距離為：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
在電阻r上產(chǎn)生的焦耳熱為$\frac{r}{R}$Q，
根據(jù)功能關(guān)系可得，外力做功為：
W=μmgx+Q+$\frac{r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}μmga{t}^{2}$+$\frac{R+r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m（at）^{2}$
答：（1）從靜止開始經(jīng)時(shí)間t內(nèi)通過電阻R的電荷量q是$\frac{BLa{t}^{2}}{2（R+r）}$；
（2）水平力F關(guān)于時(shí)間t的表達(dá)式是F=μmg+ma+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}at}{R+r}$；
（3）如果從靜止開始經(jīng)時(shí)間t在電阻R上產(chǎn)生的焦耳熱為Q，則該過程中外力做功為$\frac{1}{2}μmga{t}^{2}$+$\frac{R+r}{R}$Q+$\frac{1}{2}m（at）^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)中的力學(xué)問題，電磁感應(yīng)與力聯(lián)系橋梁是安培力，這類問題的關(guān)鍵在于安培力的分析和計(jì)算．