Question

16．“神州”六號(hào)飛船在預(yù)定軌道上飛行，每繞地球一圈需要時(shí)間90min，每圈飛行路程約為L(zhǎng)=4.2×10⁴km．
（1）試根據(jù)以上數(shù)據(jù)估算地球的質(zhì)量和密度．（地球的半徑R約為6.37×10³km，萬有引力常量G取6.67×10^-11N•m²/kg²）
（2）假設(shè)飛船沿赤道平面自西向東飛行，飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊還是西邊出來？如果太陽(yáng)直射赤道，試估算飛行員每天能看到多少次日出日落？飛船每轉(zhuǎn)一圈飛行員看不見太陽(yáng)的時(shí)間有多長(zhǎng)？（已知cos 18.2°=0.95）

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于向心力$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$，其中r=$\frac{L}{2π}$，化簡(jiǎn)可得地球的質(zhì)量．根據(jù)密度的定義式求得密度．
（2）地球自西向東旋轉(zhuǎn)，飛船沿赤道平面自西向東飛行的速度大于地球旋轉(zhuǎn)速度，飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊出來．結(jié)合幾何關(guān)系即可求出飛船每轉(zhuǎn)一圈飛行員看不見太陽(yáng)的時(shí)間有多長(zhǎng)．

解答 解：（1）每圈飛行路程約為L(zhǎng)=4.2×10⁴km，
由L=2πr可得  r=$\frac{L}{2π}$=6.68×10³km，
飛船繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m、軌道半徑為r、地球質(zhì)量為M，有
$\frac{GMm}{{r}^{2}}$=m$\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
M=$\frac{{{4π}^{2}r}^{3}}{{GT}^{2}}$=6.0×10²⁴kg，
根據(jù)密度的定義式得
ρ=$\frac{M}{V}$=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=5.6×10³kg/m³．
（2）地球自西向東旋轉(zhuǎn)，飛船沿赤道平面自西向東飛行的速度大于地球旋轉(zhuǎn)速度，飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊出來．地球自轉(zhuǎn)的周期為24h，90min=1.6=5h
地球自轉(zhuǎn)一周，飛船運(yùn)轉(zhuǎn)：$\frac{24}{1.5}=16$圈，飛船運(yùn)轉(zhuǎn)一圈能看到一次日出日落，所以飛行員每天能看到16次日出日落．
飛船轉(zhuǎn)到地球的背影區(qū)飛行員就看不到太陽(yáng)（如圖所示）．由圖可知sinα=$\frac{R}{r}$=0.95，
則α=71.8°
飛行員每轉(zhuǎn)一圈看不見日出的時(shí)間為t=$\frac{71.8°×2}{360°}×90min$=36min
答：（1）地球的質(zhì)量是6.0×10²⁴kg，密度是5.6×10³kg/m³．
（2）飛行員會(huì)看到太陽(yáng)從東邊出來，如果太陽(yáng)直射赤道，飛行員每天能看到16次日出日落；飛船每轉(zhuǎn)一圈飛行員看不見太陽(yáng)的時(shí)間有36min．

點(diǎn)評(píng) 解答本題知道飛船所受的萬有引力提供向心力，利用周期與軌道半徑表示向心力，然后結(jié)合萬有引力定律求解．