3. 解析 （1）由題意得sinx-cosx＞0即，

從而得，

∴函數(shù)的定義域?yàn)?sub>，

∵，故0＜sinx-cosx≤，所有函數(shù)f(x)的值域是。

（2）單調(diào)遞增區(qū)間是

單調(diào)遞減區(qū)間是，

（3）因?yàn)閒(x)定義域在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故f(x)是非奇非偶函數(shù)。

（4）∵

     ∴函數(shù)f(x)的最小正周期T=2π。

4. 解析=，T=，

=，，這時(shí)的集合為

_（2）的圖象向左平移，再向上平移1個(gè)單位可得的圖象，所以向量=。

5. 解析  由圖象過兩點(diǎn)得1=a+b，1=a+c，

當(dāng)a＜1時(shí)，，

只須解得

當(dāng)

要使解得，

故所求a的范圍是

6. 解析 

因?yàn)?sub>的最大值為的最大值為1，則

所以

7. 解析  設(shè)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為m，其圖象上兩點(diǎn)為（1-x，）、B（1＋x，）

因?yàn)?sub>，，所以，

由x的任意性得f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，

若m＞0，則x≥1時(shí)，f（x）是增函數(shù)，若m＜0，則x≥1時(shí)，f（x）是減函數(shù)．

∵　，，，，，

，

∴　當(dāng)時(shí)，

，．

∵　，　∴　．

當(dāng)時(shí)，同理可得或．

綜上的解集是當(dāng)時(shí)，為；

當(dāng)時(shí)，為，或．

8. 解析 方程sinx=實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y=sinx與y=的圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)

∵|sinx|≤1∴||≤1,  |x|≤100л

當(dāng)x≥0時(shí)，如右圖，此時(shí)兩線共有

100個(gè)交點(diǎn)，因y=sinx與y=都是奇函數(shù)，由對稱性知當(dāng)x≥0時(shí)，也有100個(gè)交點(diǎn)，原點(diǎn)是重復(fù)計(jì)數(shù)的所以只有199個(gè)交點(diǎn)。

9. 解析  （1）當(dāng)時(shí)，

函數(shù)，觀察圖象易得：

，即函數(shù)，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱得，時(shí)，函數(shù).

∴.

 （2）當(dāng)時(shí)，

由得，；

當(dāng)時(shí)，由得，.

∴方程的解集為

10. 解析 （1）由題意可得：  ， ，   ，

函數(shù)圖像過（0，1）， ， ，  ，

；

（2）

11. 解析 (1)

由=0即

即對稱中心的橫坐標(biāo)為

（Ⅱ）由已知b²=ac，

即的值域?yàn)?sub>.

12. 解析（1）因?yàn)?i>f (x +θ)=

又f (x +θ)是周期為2π的偶函數(shù)，  故 Z

（2）因?yàn)?i>f (x)在（0，）上是增函數(shù)，故ω最大值為

13. 由a∥b得，              

    即            

思路點(diǎn)撥：三角函數(shù)的求值問題，關(guān)鍵是要找到已知和結(jié)論之間的聯(lián)系，本題先要應(yīng)用向量的有關(guān)知識及二倍角公式將已知條件化簡，然后將所求式子的角向已知角轉(zhuǎn)化.

14. (1)由

   ∴             

2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練――三個(gè)二次問題（二次函數(shù)、不等式、方程）

1. 解關(guān)于的不等式：(1) x²－(a＋1)x＋a＜0，(2) ．  

2 設(shè)集合A={x|x²＋3k²≥2k(2x－1)}，B={x|x²－(2x－1)k＋k²≥0}，且AB，試求k的取值范圍．

3．不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

4．已知二次函數(shù)y＝x²＋px＋q，當(dāng)y＜0時(shí)，有－＜x＜，解關(guān)于x的不等式qx²＋px＋1＞0．

5．若不等式的解集為，求實(shí)數(shù)p與q的值．

6. 設(shè)，若，，, 試證明：對于任意，有.

7.（經(jīng)典題型，非常值得訓(xùn)練） 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足.  當(dāng)時(shí)，證明.

8. 已知關(guān)于x的二次方程x²+2mx+2m+1=0.

(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.

(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.

9. 已知二次函數(shù)f(x)=ax²+bx+c和一次函數(shù)g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R).

(1)求證：兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；

(2)求線段AB在x軸上的射影A₁B₁的長的取值范圍.

10.已知實(shí)數(shù)t滿足關(guān)系式 (a>0且a≠1)

(1)令t=a^x,求y=f(x)的表達(dá)式；

(2)若x∈(0,2時(shí)，y有最小值8，求a和x的值.

11.如果二次函數(shù)y=mx²+(m－3)x+1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.

12.二次函數(shù)f(x)=px²+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足=0,其中m>0,求證：

(1)pf()<0;

(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解.

13.一個(gè)小服裝廠生產(chǎn)某種風(fēng)衣，月銷售量x(件)與售價(jià)P(元/件)之間的關(guān)系為P=160－2x,生產(chǎn)x件的成本R=500+30x元.

(1)該廠的月產(chǎn)量多大時(shí)，月獲得的利潤不少于1300元？

(2)當(dāng)月產(chǎn)量為多少時(shí)，可獲得最大利潤？最大利潤是多少元？

14. 已知a、b、c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)＝ax²＋bx＋c，g(x)＝ax＋b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|f(x)|≤1．(1)證明：|c|≤1；

　　(2)證明：當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；

15. 設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足.  且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，證明：.

16. 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和.

（1）如果，設(shè)函數(shù)的對稱軸為，求證：；

（2）如果，，求的取值范圍.

17. 設(shè),，,求證：

(Ⅰ) a＞0且－2＜＜－1；

(Ⅱ)方程在（0，1）內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根.

18. 已知二次函數(shù) 的圖象如圖所示：

（1）試判斷 及 的符號；

（2）若|OA|＝|OB|，試證明 。

19. 為何值時(shí)，關(guān)于 的方程 的兩根：

（1）為正數(shù)根；（2）為異號根且負(fù)根絕對值大于正根；（3）都大于1；（4）一根大于2，一根小于2；（5）兩根在0，2之間。

20. 證明關(guān)于 的不等式 與 ，當(dāng) 為任意實(shí)數(shù)時(shí)，至少有一個(gè)桓成立。

21. 已知關(guān)于 的方程 兩根為 ，試求 的極值。

22. 若不等式 對一切x恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍.

23. 設(shè)不等式ax²+bx+c>0的解集是{x|a<x<β}(0<a<β),求不等式cx²+bx+a<0的解集.

答案：

1.解：(1)原不等式可化為：若a＞1時(shí)，解為1＜x＜a，若a＞1時(shí)，

解為a＜x＜1，若a=1時(shí)，解為

(2)△=．  

①當(dāng)，△＞0．

方程有二實(shí)數(shù)根：

∴原不等式的解集為

①當(dāng)=±4 時(shí)，△=0，兩根為

若則其根為－1，∴原不等式的解集為．

若則其根為1，∴原不等式的解集為．

②當(dāng)－4＜時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根．∴原不等式的解集為R．

2．解：，比較

因?yàn)?sub>

(1)當(dāng)k＞1時(shí)，3k－1＞k＋1，A={x|x≥3k－1或x}.

(2)當(dāng)k=1時(shí)，x.

(3)當(dāng)k＜1時(shí)，3k－1＜k＋1，A=.

B中的不等式不能分解因式，故考慮判斷式，

(1)當(dāng)k=0時(shí)，.

(2)當(dāng)k＞0時(shí)，△＜0，x.

(3)當(dāng)k＜0時(shí)，.

故：當(dāng)時(shí)，由B=R，顯然有A，

當(dāng)k＜0時(shí)，為使A，需要k，于是k時(shí)，.

綜上所述，k的取值范圍是：

3..解： (１)當(dāng)m²－2m－3＝0，即m＝3或m＝－1時(shí)，

①若m＝3，原不等式解集為R

②若m＝－1，原不等式化為4x－1＜0

∴原不等式解集為｛x｜x＜＝，不合題設(shè)條件.

(２)若m²－2m－3≠0，依題意有

  即

∴－＜m＜3?

綜上，當(dāng)－＜m≤3時(shí)，不等式(m²－2m－3)x²－(m－3)x－1＜0的解集為R.

4..解： 由已知得x₁＝－，x₂＝是方程x²＋px＋q=0的根，

∴－p=－＋   q=－×

∴p＝，q＝－，∴不等式qx²＋px＋1＞0

即－x²＋x＋1＞0

∴x²－x－6＜0，∴－2＜x＜3.

即不等式qx²＋px＋1＞0的解集為｛x｜－2＜x＜3｝.

5.．解：由不等式的解集為，得

2和4是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．(如圖)

       解得

6. 解：∵ ,

∴ ,

∴ .∴ 當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

7. 證明：由題意可知.

,∴ ,

∴  當(dāng)時(shí)，.

又,

    ∴  ,

綜上可知，所給問題獲證.

8. 解：(1)條件說明拋物線f(x)=x²+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得

∴.

(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組

(這里0<－m<1是因?yàn)閷ΨQ軸x=－m應(yīng)在區(qū)間(0，1)內(nèi)通過)

9. (1)證明：由消去y得ax²+2bx+c=0

Δ=4b²－4ac=4(－a－c)²－4ac=4(a²+ac+c²)=4［(a+c²］

∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0

∴c²>0,∴Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).

(2)解：設(shè)方程ax²+bx+c=0的兩根為x₁和x₂,則x₁+x₂=－,x₁x₂=.

|A₁B₁|²=(x₁－x₂)²=(x₁+x₂)²－4x₁x₂

∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0

∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)

∵的對稱軸方程是.

∈(－2,－)時(shí)，為減函數(shù)

∴|A₁B₁|²∈(3,12),故|A₁B₁|∈().

10. .解：(1）由log_a得log_at－3=log_ty－3log_ta

由t=a^x知x=log_at，代入上式得x－3=,?

∴l(xiāng)og_ay=x²－3x+3，即y=a (x≠0).

(2)令u=x²－3x+3=(x－)²+ (x≠0),則y=a^u

①若0＜a＜1,要使y=a^u有最小值8，

則u=(x－)²+在(0，2上應(yīng)有最大值，但u在(0，2上不存在最大值.

②若a>1,要使y=a^u有最小值8，則u=(x－)²+,x∈(0,2應(yīng)有最小值

∴當(dāng)x=時(shí)，u_min=,y_min=

由=8得a=16.∴所求a=16,x=.

11.解：∵f(0)=1>0

(1)當(dāng)m＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.

(2）當(dāng)m>0時(shí)，則解得0＜m≤1

綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.

12.證明：(1)

,由于f(x)是二次函數(shù)，故p≠0,又m>0,所以，pf()＜0.

(2)由題意，得f(0)=r,f(1)=p+q+r

①當(dāng)p＜0時(shí)，由(1）知f()＜0

若r>0,則f(0)>0,又f()＜0,所以f(x)=0在(0，)內(nèi)有解;

若r≤0,則f(1)=p+q+r=p+(m+1)=(－)+r=>0,

又f()＜0,所以f(x)=0在(,1)內(nèi)有解.

②當(dāng)p＜0時(shí)同理可證.

13..解：(1）設(shè)該廠的月獲利為y,依題意得?

y=(160－2x)x－(500+30x)=－2x²+130x－500

由y≥1300知－2x²+130x－500≥1300

∴x²－65x+900≤0，∴(x－20)(x－45)≤0，解得20≤x≤45

∴當(dāng)月產(chǎn)量在20~45件之間時(shí)，月獲利不少于1300元.

(2）由(1）知y=－2x²+130x－500=－2(x－)²+1612.5

∵x為正整數(shù)，∴x=32或33時(shí)，y取得最大值為1612元，

∴當(dāng)月產(chǎn)量為32件或33件時(shí)，可獲得最大利潤1612元.

14. 解 (1)|c|＝|f(0)|≤1(因?yàn)?∈[－1，1])．

　　所以當(dāng)－1≤x≤1時(shí)，

15. 解：由題意 .

它的對稱軸方程為

由方程的兩個(gè)根滿足, 可得

且,

∴ ，

即  ，   而

故  .

16. 解：設(shè)，則的二根為和.

（1）       由及，可得  ，

即   ，

即 

兩式相加得，所以，;

（2）由, 可得  .

又，所以同號.

∴ ，等價(jià)于或,

即     或

解之得  或.

17. 證明：（I）因?yàn)?sub>，

所以.

由條件，消去，得

；

由條件，消去

2009屆高考數(shù)學(xué)快速提升成績題型訓(xùn)練――概率

1. 兩人要去某風(fēng)景區(qū)游玩，每天某一時(shí)段開往該風(fēng)景區(qū)有三輛汽車（票價(jià)相同），但是他們不知道這些車的舒適程度，也不知道汽車開過來的順序．兩人采用了不同的乘車方案：

　　甲無論如何總是上開來的第一輛車．而乙則是先觀察后上車，當(dāng)?shù)谝惠v車開來時(shí)，他不上車，而是仔細(xì)觀察車的舒適狀況．如果第二輛車的狀況比第一輛好，他就上第二輛車；如果第二輛不比第一輛好，他就上第三輛車．

　　如果把這三輛車的舒適程度分為上、中、下三等，請嘗試著解決下面的問題：

（1）三輛車按出現(xiàn)的先后順序共有哪幾種不同的可能？

（2）你認(rèn)為甲、乙兩人采用的方案，哪一種方案使自己乘坐上等車的可能性大？為什么？

2有一個(gè)拋兩枚硬幣的游戲，規(guī)則是：若出現(xiàn)兩個(gè)正面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；若出現(xiàn)兩個(gè)反面，則甲、乙都不贏．

（１）這個(gè)游戲是否公平？請說明理由；

（２）如果你認(rèn)為這個(gè)游戲不公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)公平的游戲；如果你認(rèn)為這個(gè)游戲公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設(shè)計(jì)一個(gè)不公平的游戲．

3. 一個(gè)口袋中有10個(gè)紅球和若干個(gè)白球，請通過以下實(shí)驗(yàn)估計(jì)口袋中白球的個(gè)數(shù)：從口袋中隨機(jī)摸出一球，記下其顏色，再把它放回口袋中，不斷重復(fù)上述過程．實(shí)驗(yàn)中總共摸了200次，其中有50次摸到紅球． 求其中白球的個(gè)數(shù)。

4. 在右圖所示的圖案中，黑白兩色的直角三角形都全等．將它作為一個(gè)游戲盤，游戲規(guī)則是：按一定距離向盤中投鏢一次，扎在黑色區(qū)域?yàn)榧讋伲诎咨珔^(qū)域?yàn)橐覄伲阏J(rèn)為這個(gè)游戲公平嗎？為什么？

5. 在口袋里有4顆糖，其中2顆是草莓口味的，1顆是蘋果口味的，1顆是薄荷口味的．

（1）從中同時(shí)取出兩顆，共有多少種等可能的結(jié)果？

    （2）從中取出一顆，放回?cái)噭蚝笤偃∫活w，共有多少種等可能的結(jié)果？

（3）比較在（1）（2）兩種不同的取法中，“取出的兩顆糖口味一樣”的概率．

6．一個(gè)盒子中裝有四張完全相同的卡片，分別寫著，，和，盒子外有兩張卡片，分別寫著和．現(xiàn)隨機(jī)從盒內(nèi)取出一張卡片，與盒子外的兩張卡片放在一起，以卡片上的數(shù)量分別作為三條線段的長度，解答下列問題：

（1）求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率；   

（2）求這三條線段能構(gòu)成等腰三角形的概率．

7．（構(gòu)造概率模型解題）設(shè)，求證：.

8. 證明范德蒙（Vandermonde）恒等式：

.

9. 某農(nóng)科所培育出兩種雜交水稻品種進(jìn)行試驗(yàn)種植，在相同的條件下各種種植10畝。收獲情況如下：

A品種

畝產(chǎn)量（kg）

750

780

800

840

880

畝數(shù)

2.5

1.5

2

2.5

1.5

B品種

畝產(chǎn)量（kg）

760

780

800

820

850

畝數(shù)

2

2

3

2

1

試評價(jià)兩種水稻品種產(chǎn)量的優(yōu)劣狀況。

10. 某電路中有紅燈、綠燈各一只，當(dāng)開關(guān)閉合后，便有紅燈和綠燈閃動(dòng)，并且每次有且僅有一只燈亮，設(shè)第一次出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率相等，從第二次起，前次出現(xiàn)紅燈后接著出現(xiàn)紅燈的概率是，前次出現(xiàn)綠燈后接著出現(xiàn)紅燈的概率是．求：

   （Ⅰ）第二次出現(xiàn)紅燈的概率；

   （Ⅱ）三次發(fā)光，紅燈出現(xiàn)一次，綠燈出現(xiàn)兩次的概率．

11. 從10個(gè)元件中（其中4個(gè)相同的甲品牌元件和6個(gè)相同的乙品牌元件）隨機(jī)選出3個(gè)參加某種性能測試. 每個(gè)甲品牌元件能通過測試的概率均為，每個(gè)乙品牌元件能通過測試的概率均為.試求：

（I）選出的3個(gè)元件中，至少有一個(gè)甲品牌元件的概率；

（II）若選出的三個(gè)元件均為乙品牌元件，現(xiàn)對它們進(jìn)行性能測試，求至少有兩個(gè)乙品牌元件同時(shí)通過測試的概率.

12. 獵人在距100米處射擊一野兔，其命中率為，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但距離為150米，如果第二次未擊中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為200米，已知獵人命中概率與距離平方成反比，求獵人命中野兔的概率。

13. 設(shè)有n個(gè)人，每個(gè)人都等可能地被分配到N個(gè)房間中的任意一間去住（n≤N）,求下列事件的概率

（1）指定的n個(gè)房間各有一個(gè)人住

（2）恰好有n個(gè)房間，其中各住一人

14. 已知某種高炮在它控制的區(qū)域內(nèi)擊中敵機(jī)制概率為0.2

（1）假定有5門這種高炮控制某區(qū)域，求敵機(jī)進(jìn)入該區(qū)域后被擊中的概率。

（2）要使敵機(jī)一旦進(jìn)入這個(gè)區(qū)域后有0.9以上的概率被擊中，需至少布置幾門高炮？

15. 某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴時(shí)，他在兩盒中任取一盒并從中任取出一根，求他發(fā)現(xiàn)用完一盒時(shí)，另一盒還有r根（1≤r≤n）的概率。

16. 基本系統(tǒng)是由四個(gè)整流二極管（串、并）聯(lián)而成，已知每個(gè)二極管的可靠度為0.8（即正常工作），若要求系統(tǒng)的可靠度0.85，請你設(shè)計(jì)二極管的聯(lián)結(jié)方式。

17. 甲、乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)之間在某處會(huì)面，并約定先到者應(yīng)等候另一人一刻鐘，過時(shí)即刻離去，求兩人會(huì)面的概率。

18. 某商場為了吸引顧客，設(shè)置了兩種促銷方式．一種方式是：讓顧客通過轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤獲得購物券．規(guī)定顧客每購買100元的商品，就能獲得一次轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的機(jī)會(huì)，如果轉(zhuǎn)盤停止后，指針正好對準(zhǔn)100元、50元、20元的相應(yīng)區(qū)域，那么顧客就可以分別獲得100元、50元、20元購物券，憑購物券可以在該商場繼續(xù)購物；如果指針對準(zhǔn)其它區(qū)域，那么就不能獲得購物券．另一種方式是：不轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤，顧客每購買100元的商品，可直接獲得10元購物券．據(jù)統(tǒng)計(jì)，一天中共有1000人次選擇了轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的方式，其中指針落在100元、50元、20元的次數(shù)分別為50次、100次、200次．

（1）指針落在不獲獎(jiǎng)區(qū)域的概率約是多少？

（2）通過計(jì)算說明選擇哪種方式更合算？

19. 某中學(xué)高一年級有6個(gè)班，要從中選出2個(gè)班代表學(xué)校參加某項(xiàng)活動(dòng)，高一（1）班必須參加，另外再從高一（2）班至七（6）班選出1個(gè)班．高一（4）班有學(xué)生建議用如下的方法：從裝有編號為1、2、3的三個(gè)白球袋中摸出一個(gè)球，再從裝有編號為1、2、3的三個(gè)紅球袋中摸出1個(gè)球（兩袋中球的大小、形狀與質(zhì)量完全一樣），摸出的兩個(gè)球上的數(shù)字和是幾，就選幾班，你認(rèn)為這種方法公平嗎？請說明理由．

20. 某商場2009年2月搞“真情回報(bào)社會(huì)”的幸運(yùn)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，共設(shè)五個(gè)獎(jiǎng)金等級，最高獎(jiǎng)金每份1萬元，平均獎(jiǎng)金180元，下面是獎(jiǎng)金的分配表：

資金等級

一等獎(jiǎng)

二等獎(jiǎng)

三等獎(jiǎng)

四等獎(jiǎng)

五等獎(jiǎng)

資金額（元）

10000

5000

1000

50

10

中獎(jiǎng)人數(shù)

3

8

89

300

600

一名顧客抽到一張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)金數(shù)為10元，她調(diào)查了周圍不少正在兌獎(jiǎng)的其他顧客，很少有超過50元的，她氣憤地去找商場的領(lǐng)導(dǎo)論理，領(lǐng)導(dǎo)解釋說這不存在什么欺騙，平均獎(jiǎng)金確實(shí)是180元．你認(rèn)為商場所說的平均獎(jiǎng)金是否欺騙了顧客？此種說法是否能夠很好地反映中獎(jiǎng)的一般金額？用你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)與概率的有關(guān)知識做簡要分析說明．以后遇到類似抽獎(jiǎng)活動(dòng)的問題，你會(huì)更關(guān)心什么？

21. 抽樣本檢查是產(chǎn)品檢查的常用方法.分為返回抽樣和不返回抽樣兩種具體操作方案.現(xiàn)有100只外型相同的電路板，其中有40只A類版后60只B類板.問在下列兩種情況中“從100只抽出3只，3只都是B類”的概率是多少？

（1）每次取出一只，測試后放回，然后再隨機(jī)抽取下一只（稱為返回抽樣）；

（2）每次取出一只，測試后不放回，在其余的電路板中，隨意取下一只（稱為不返回抽樣）．

22. 某射手在一次射擊訓(xùn)練中，射中10環(huán)、9環(huán)、8環(huán)、7環(huán)的概率分別為0. 21、0.23、0.25、0.28，計(jì)算這個(gè)射手在一次射擊中：

（1）射中 10 環(huán)或 7 環(huán)的概率；

（2）不夠7環(huán)的概率．

23. 如圖，用A，B，C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)N_l，N₂，當(dāng)元件A，B，C 都正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₁正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件B，C中至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N₂正常工作．已知元件A，B，C正常工作的概率依次是0.80，0.90，0.90．試分別求出系統(tǒng)N_l，N₂正常工作的概率P₁，P₁．

24. 某城市518路公共汽車的準(zhǔn)時(shí)到站率為90%，某人在5次乘坐這班車中，這班公共汽車恰好有4次準(zhǔn)時(shí)到站的概率是多少？

25. 某公交公司對某線路客源情況統(tǒng)計(jì)顯示，公交車從每個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)及頻率如下表：

人數(shù)

0~6

7~12

13~18

19~24

25~30

31人以上

頻率

0.1

0.15

0.25

0.20

0.20

0.1

（1）從每個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約是多少？

（2）全線途經(jīng)10個(gè)�？奎c(diǎn)，若有2個(gè)以上（含2個(gè)），乘客人數(shù)超過18人的概率大于0.9，公交公司就要考慮在該線路增加一個(gè)班次，請問該線路需要增加班次嗎？

26. 排球比賽的規(guī)則是5局3勝制，A、B兩隊(duì)每局比賽獲勝的概率都相等且分別為和．

（1）前2局中B隊(duì)以2∶0領(lǐng)先，求最后A、B隊(duì)各自獲勝的概率；

（2）B隊(duì)以3∶2獲勝的概率．

27. 北京08奧運(yùn)會(huì)吉祥物是“貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮”.現(xiàn)將三張分別印有“歡歡、迎迎、妮妮”這三個(gè)吉祥物圖案的卡片(卡片的形狀大小一樣，質(zhì)地相同)放入盒子．

(1)小玲從盒子中任取一張,取到卡片歡歡的概率是多少?

     (2)小玲從盒子中取出一張卡片,記下名字后放回,再從盒子中取出第二張卡片,記下名字.列出小玲取到的卡片的所有可能情況,并求出兩次都取到卡片歡歡的概率．

28. 袋中有5個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任意摸出4個(gè)，求下列事件發(fā)生的概率：

(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球；(2)至少摸出1個(gè)白球；(3)至少摸出1個(gè)黑球.

29. 盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回地從中任取兩次，每次取一只，試求下列事件的概率：

(1)取到的2只都是次品；

(2)取到的2只中正品、次品各一只；

(3)取到的2只中至少有一只正品.

30. 從男女學(xué)生共有36名的班級中，任意選出2名委員，任何人都有同樣的當(dāng)選機(jī)會(huì).如果選得同性委員的概率等于，求男女生相差幾名?

答案：

1. 解：（1）三輛車開來的先后順序有6種可能：

（上、中、下）、（上、下、中）、（中、上、下）、（中、下、上）、（下、中、上）、（下、上、中）．

（2）由于不知道任何信息，所以只能假定6種順序出現(xiàn)的可能性相同．我們來研究在各種可能性的順序之下，甲、乙二人分別會(huì)上哪一輛汽車：

順　　序

甲

乙

上、中、下

上

下

上、下、中

上

中

中、上、下

中

上

中、下、上

中

上

下、上、中

下

上

下、中、上

下

中

于是不難得出，甲乘上、中、下三輛車的概率都是；而乙乘上等車的概率是，乘中等車的概率是，乘下等車的概率是．

乙采取的方案乘坐上等車的可能性大．

2. 解：（１）不公平．

　　　　因?yàn)閽亙擅队矌�，所有機(jī)會(huì)均等的結(jié)果為：

　　　　正正，正反，反正，反反．

　　　　所以出現(xiàn)兩個(gè)正面的概率為，

　　　　出現(xiàn)一正一反的概率為．

　　　　因?yàn)槎吒怕什坏龋杂螒虿还剑?/p>

　　　　（２）游戲規(guī)則一：若出現(xiàn)兩個(gè)相同面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反（一反一正），則乙贏．

　　游戲規(guī)則二：若出現(xiàn)兩個(gè)正面，則甲贏；若出現(xiàn)兩個(gè)反面，則乙贏；若出現(xiàn)一正一反，則甲、乙都不贏．

3. 解法一：設(shè)口袋中有個(gè)白球，

由題意，得，

解得．

答：口袋中大約有30個(gè)白球．

注：這里解分式方程是同解變形，可不檢驗(yàn)，因而不給分．

解法二：（50次摸到紅球）＝，

．．

答：口袋中大約有30個(gè)白球．

4. 答：這個(gè)游戲是公平的．

　　因?yàn)楹诎變缮闹苯侨切味既龋覀€(gè)數(shù)也分別相等，

　　所以黑白兩色直角三角形面積的和也分別相等．

　　又因?yàn)楹诎變缮墓蔚南议L都是直角三角形的斜邊，

　　所以黑白兩色弓形面積的和也分別相等．

　　因此黑白兩色區(qū)域面積各占圓面積的50％，

　　即鏢扎在黑白兩色區(qū)域面積的概率均為50%，

　　故此游戲公平．

5.（1）共有12種等可能的結(jié)果，樹狀圖略．（2）共有16種等可能的結(jié)果，可由列表法得出（3）在（1）（2）兩種不同取法中，“取出的兩顆糖口味一樣”的概率分別為、

6．解：由已知得：共組成4組邊，即2,3,5；3,3,5；3,4,5；3,5,5，……………………2分

（1）依題意，3,3,5；3,4,5；3,5,5，有3組能構(gòu)成三角形, ???????????????????? 4分

∴??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????? 6分

（2）依題意,3,3,5和5,3,5兩組能構(gòu)成等腰三角形??????????????????????????????????? 8分

∴

7. 證明：設(shè)A、B、C三個(gè)相互獨(dú)立的事件，且，，，

由概率的性質(zhì)及加法公式得：

∴  .

8. 證明：從裝有n個(gè)白球，m個(gè)黑球的袋子里，隨機(jī)摸出k個(gè)（kㄑmin（n，m））球來，設(shè)A­_r表示摸到r個(gè)（0ㄑrㄑk）白球的事件，則根據(jù)古典概率的含義得：

，（r=0，1，2，…，k）

∵ 事件A₀+A₁+…+A_k是必然事件，并且A₀、A₁、…、A_k­­之間是互不相容的

∴

∴

∴ .

9. 解：設(shè)A、B兩種水稻的畝產(chǎn)量分別是、，則

隨機(jī)變量的概率分布為：

750

780

800

840

880

0.25

0.15

0.2

0.25

0.15

隨機(jī)變量的概率分布為：

760

780

800

820

850

0.2

0.2

0.3

0.2

0.1

∴ E=750×0.25+780×0.15+800×0.2+840×0.25+880×0.15=806.5，

E=760×0.2+780×0.2+800×0.3+820×0.2+850×0.1=797.0；

D= （750－806.5）²_­­×0.25+（780－806.5）²_­­×0.15+（800－806.5）²_­­×0.2+（840－806.5）²_­­×0.25+（880－806.5）²_­­×0.15=2002.7，

D= （760－797.0）²_­­×0.2+（780－797.0）²_­­×0.2+（800－797.0）²_­­×0.3+（820－797.0）²_­­×0.2+（850－797.0）²_­­×0.1=721.0.

可見， A品種水稻畝產(chǎn)量的數(shù)學(xué)期望值雖然略高于B品種水稻，但是B品種水稻的畝產(chǎn)量方差遠(yuǎn)大于A品種水稻的畝產(chǎn)量方差。

∴ B品種水稻的畝產(chǎn)量較為穩(wěn)定，種植風(fēng)險(xiǎn)小。

10. 解：（Ⅰ）隨機(jī)選出的3個(gè)元件中，至少有一個(gè)甲品牌元件的概率為

            1－；

（Ⅱ）至少有兩個(gè)乙品牌元件同時(shí)通過測試的概率為

            =；

11. 解：由于第一次出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率相等，由等可能事件的概率知，第一次出現(xiàn)紅燈和綠燈的概率均為，由對立事件的概率可知，從第二次起，前次出現(xiàn)紅燈后接著出現(xiàn)紅燈的概率是，則接著出現(xiàn)綠燈的概率是；前次出現(xiàn)綠燈后接著出現(xiàn)紅燈的概率是，則接著出現(xiàn)綠燈的概率是．             

  　  （Ⅰ）；              

     （Ⅱ）．

12. 解：記三次射擊為事件A、B、C其中P（A）=

   由= P（A）=

   ∴ P（B）=     P（C）= 

   ∴命中野兔的概率為：P（A）+P（?B）+ P（??C）=

13. 解：∵每個(gè)人有N個(gè)房間可供選擇，所以n個(gè)人住的方式共有 Nⁿ 種，它們是等可能的，    ∴（1）指定n個(gè)房間各有一個(gè)人住記作事件A：可能的總數(shù)為n！則 P（A）=

（2）恰好有n個(gè)房間其中各住一人記作事件B，則這n個(gè)房間從N個(gè)房間中任選共有  個(gè), 由（1）可知：P（B）=

14. 解：（1）設(shè)敵機(jī)被第k門高炮擊中的事件為A_k（k=1、2、3、4、5）那么5門高炮都未擊中敵機(jī)的事件為???? 

 ∵ A_i  是相互獨(dú)立事件        ∴ 敵機(jī)擊被擊中的概率為：

P（????）

= P（）?P（）?P （）?P（）?P（）

= (1?0.2)⁵ =        ∴ P = 1－

(2)設(shè)至少需要n門高炮使敵機(jī)有0.9以上的概率被擊中，則：

    1?> 0.9         解得：n > 10.3  

   ∵ n∈N₊              ∴ 至少需要11門高炮才能有0.9以上的概率擊中敵機(jī)。

15. 解：由題意數(shù)學(xué)家共用了2n?r根火柴，其中n根取自一盒，n?r根取自另一盒，于是此問題可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：“2n?r個(gè)不同的球，放入兩個(gè)盒子，求甲盒放n個(gè)，乙盒放n?r的概率”，記作事件A，因每個(gè)球放入兩個(gè)盒子共有2種放法

∴2n?r個(gè)球的所有等可能結(jié)果為，甲盒放入n個(gè)球的可能結(jié)果為

∴P（A）=

16. 解：設(shè)系統(tǒng)可靠性為P

（1）若全并聯(lián)，則P = 1?0.2⁴=0.9984 > 0.85

（2）若兩個(gè)兩個(gè)串聯(lián)后再并聯(lián)，則P = (1?0.8²)² = 0.8704 > 0.85

（3）兩個(gè)兩個(gè)并聯(lián)后再串聯(lián)，則P = (1?0.2²)² = 0.9216 > 0.85

（4）三個(gè)串聯(lián)與第四個(gè)并聯(lián)，則1?0.2（1?0.8³）= 0.9024 > 0.85

    ∴設(shè)計(jì)如下 →             →        →                   →

       →                           →    →                         →

17. 解：設(shè)x、y分別為甲乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，若兩個(gè)人能會(huì)面，則| x?y |≤15

如 圖：

則（x、y）的所有可能結(jié)果是邊長為60的正方形

內(nèi)的所有點(diǎn)的集合，由等可能事件的概率求法可知：

  P（A）=

18. 解：（1）（不獲獎(jiǎng)）=（或65%）   　　　

   （2）轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的平均收益為：

轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤的方式更合算

19. 解：方法不公平．

　　　說理方法一：用表格來說明，

1

2

3

1

(1，1)(2)

(1，2)(3)

(1，3)(4)

2

(2，1)(3)

(2，2)(4)

(2，3)(5)

3

(3，1)(4)

(3，2)(5)

(3，3)(6)

　　　所以，七（2）班被選中的概率為，七（3）班被選中的概率為，七（4）班被選中的概率為，七（5）班被選中的概率為，七（6）班被選中的概率為，

　　所以，這種方法不公平．

20. 解：由題意可知：

　 　　（元）

　　所以，商場領(lǐng)導(dǎo)的解釋不存在欺騙．

　　但是，中小獎(jiǎng)（不超過50元）的概率為

　　或中大獎(jiǎng)（不低于1000元）的概率為

　　中獎(jiǎng)金額的眾數(shù)為10，中位數(shù)為10（不說中位數(shù)不扣分）．

　　所以以上說法不能反映中獎(jiǎng)的一般金額，因此在以后此類活動(dòng)中應(yīng)注重中大（或�。┆�(jiǎng)的概率的大小，注意觀察眾數(shù)和中位數(shù)是多少．

21. 解 （1）設(shè)“從100只中抽去3只，3只都是B類”為事件M，先求基本事件總數(shù)，由于每次抽去一只，測試后又放回，故每次都是從100只電路板中任取一只，這是重復(fù)排列，共有

個(gè).再求M所包含的基本事件數(shù)，由于每次抽出后又放回，故是重復(fù)排列，共有 個(gè)，所以．

（2）由于取出后不放回，所以總的基本事件數(shù)為個(gè)，事件M的基本事件數(shù)為，所以 ．

22. 解 （1）記“射擊10環(huán)”為事件A，記“射中7環(huán)”為事件B，由于在一次射擊中，A與B不可能同時(shí)發(fā)生，故A，B是互斥事件.∴P(A + B)＝P(A) + P(B)＝0.21 + 0.28＝0.49.

（2）記“不夠 7 環(huán)”為事件C.∴P（）＝ 0.21 + 0.23 + 0.25 + 0.28＝0.97， 從而 P(C）＝1一P（）＝ 1一0.97＝0.03．

23. 解  分別記元件A，B，C正常工作的事件為A，B，C，由已知P(A)＝0.80，P(B)＝0.90，P(C)＝0.90．∵事件A，B，C互相獨(dú)立，∴N₁正常工作的概率為＝0.8×0.9×0.9＝0.648．N₂正常工作的概率為＝0.8×（1－（1－0.9）（1－0.9））＝0.792．

24. 解  5次乘坐518次公共汽車，只有“車準(zhǔn)時(shí)到站”和“車不準(zhǔn)時(shí)到站”兩種情況發(fā)生，而且每次車是否準(zhǔn)時(shí)到站與另一次無關(guān)，因此5次乘車恰有4次準(zhǔn)時(shí)到站的事件可看作5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中“車準(zhǔn)時(shí)到站”事件恰好發(fā)生4次，故概率為．

25. 解 （1）每個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為0.1+0.15+0.25+0.2=0.7．

    （2）從每個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為0.20+0.20+0.1=0.5，途經(jīng)10個(gè)�？奎c(diǎn)，沒有一個(gè)�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率為，途經(jīng) 10個(gè)停靠點(diǎn)，只有一個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率 ．

所以，途經(jīng)10個(gè)�？奎c(diǎn)，有2個(gè)以上（含2個(gè)）�？奎c(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)超過18人的概率

P=1－－C（）（1－）⁹=1－=．∴該線路需要增加班次．

答：（1）每個(gè)停靠點(diǎn)出發(fā)后，乘客人數(shù)不超過24人的概率約為0.7；(2) 該線路需要增加班次．

26. 解 （1）設(shè)最后A獲勝的概率為P₁，最后B獲勝的概率為P₂．

∴P₁=C()³=，P₂=+×+××= （或P₂=1- P₁=）．

（2）設(shè)B隊(duì)以3∶2獲勝的概率為P₃．∴P₃= C()³ ()² = ．

27. 解析:（１）；（２）列出所有可能情況：易知兩次都取到歡歡的概率為．

28. 解：從8個(gè)球中任意摸出4個(gè)共有種不同的結(jié)果.記從8個(gè)球中任取4個(gè)，其中恰有1個(gè)白球?yàn)槭录?i>A₁，恰有2個(gè)白球?yàn)槭录?i>A₂，3個(gè)白球?yàn)槭录?i>A₃，4個(gè)白球?yàn)槭录?i>A₄，恰有i個(gè)黑球?yàn)槭录?i>B_ｉ，則

(1)摸出2個(gè)或3個(gè)白球的概率

P₁＝Ｐ（A₂＋A₃）＝Ｐ（A₂）＋Ｐ（A₃）

(2)至少摸出1個(gè)白球的概率

P₂＝1－Ｐ（B₄）＝1－0＝1

(3)至少摸出1個(gè)黑球的概率

Ｐ₃＝1－Ｐ（A₄）＝1－

29. 解：從6只燈泡中有放回地任取兩只，共有6²＝36種不同取法.

(1)取到的2只都是次品情況為2²＝4種.因而所求概率為.

(2)由于取到的2只中正品、次品各一只有兩種可能：第一次取到正品，第二次取到次品；及第一次取到次品，第二次取到正品.因而所求概率為

P=

(3)由于“取到的兩只中至少有一只正品”是事件“取到的兩只都是次品”的對立事件.因而所求概率為

P=1-

試題詳情