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第十一單元  直線與圓

一.選擇題

(1) 平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線固定在A(3,-1),C(2,-3)兩點(diǎn),D點(diǎn)在直線3x-y+1=0上移動(dòng)，則B點(diǎn)軌跡所在的方程為                                                                                     

A 3x-y-20=0       B 3x-y-10=0        C 3x-y-9=0      D 3x-y-12=0

(2)若方程x+y-6+3k=0僅表示一條射線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是                

A (-∞,3)         B (-∞,0或k=3      C k=3             D (- ∞,0)或k=3

(3)入射光線沿直線x-2y+3=0射向直線l: y=x被直線反射后的光線所在的方程是    (       )

A  x+2y-3=0                                      B x+2y+3=0  

C  2x-y-3=0                                       D 2x-y+3=0

(4) “a=b”是“直線相切”的                    

       A 充分不必要條件                      B 必要不充分條件

       C 充分必要條件                          D 既不充分又不必要條件

(5) 設(shè)集合，則A所表示的平面區(qū)域(不含邊界的陰影部分)是    (   )

       A                             B                             C                            D 

(6)由動(dòng)點(diǎn)Ｐ向圓x² + y²=1引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=60°,則動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡方程為                                                                                                                       

A  x²+y²=4          B  x²+y²=3          C  x²+y²=2          D  x²+y²=1

(7) 從原點(diǎn)向圓作兩條切線，則這兩條切線的夾角的大小為      

       A                     B                     C                        D

(8)已知圓x²+y²+2x-6y+F=0與x+2y-5=0交于A, B兩點(diǎn), O為坐標(biāo)原點(diǎn), 若OA⊥OB, 則F

的值為                                                                                                                                

A  0             B  1           C  -1             D  2

(9) 若圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x+3y=11的距離等于1，則半徑R的取值范圍是                                                                                                            

A R>1                 B R<3            C 1<R<3            D R≠2

(10) 已知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其斜率k的取值范圍是                                                                                                                       

A      B      C      D

二.填空題

(11) 已知圓交于A、B兩點(diǎn)，則AB所在的直線方程是__________。

(12)直線上的點(diǎn)到圓的最近距離是         。

(13)已知圓的方程是x²＋y²＝1，則在y軸上截距為的切線方程為         。

(14)過(guò)P（－2，4）及Q（3，－1）兩點(diǎn)，且在X軸上截得的弦長(zhǎng)為6的圓方程是______

三.解答題

(15) 半徑為5的圓過(guò)點(diǎn)A(－2, 6)，且以M(5, 4)為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為2，求此圓的方程。

(16) 某人在一山坡P處觀看對(duì)面山項(xiàng)上的一座鐵塔，如圖所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），圖中所示的山坡可視為直線l且點(diǎn)P在直線l上，與水平地面的夾角為 , 試問(wèn)此人距水平地面多高時(shí)，觀看塔的視角∠BPC最大（不計(jì)此人的身高）

(17) 已知定點(diǎn)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，的平分線交于點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求點(diǎn)的軌跡方程．

(18) 已知圓C：，是否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，若存在求出直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由。

答案

一選擇題:

1.A  

[解析]：設(shè)點(diǎn)B(x,y),∵平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線互相平分，即AC的中點(diǎn)C（，-2）也是BD的中點(diǎn)，∴點(diǎn)D為（5-x, - 4- y）,而D點(diǎn)在直線

3x-y+1=0上移動(dòng)，則3(5 ? x) ? ( - 4 ? y)+1=0, 即3x-y-20=0

2.C   

[解析]：  令=t, 方程x+y-6+3k=0為t²-6t+3k=0

∵方程x+y-6+3k=0僅表示一條射線

∴t²-6t+3k=0的

3.C  

[解析]：∵ 入射光線與反射光線關(guān)于直線l: y=x對(duì)稱

               ∴反射光線的方程為y -2 x +3=0，即2x-y-3=0

4.A  

[解析]： 若a=b，則直線與圓心的距離為等于半徑，

∴相切

      若相切，則

           ∴

故“a=b”是“直線相切”的

 充分不必要條件

5.A  

[解析]：∵x，y，1－x－y是三角形的三邊長(zhǎng) ∴x>0,y>0,1-x-y>0,

并且x+y>1-x-y,  x+(1-x-y)>y,  y +(1-x-y)> x

∴     故選A

6.A  

[解析]：由題設(shè)，在直角OPA中， OP為圓半徑OA的2倍，即OP=4，∴點(diǎn)Ｐ的軌跡方程為   x²+y²=4

7.B   

[解析]：設(shè)原點(diǎn)為O，圓心為P，切點(diǎn)為A、B，則OP=6，PA=3，故

則這兩條切線的夾角的大小為

8.A  

[解析]：設(shè)圓心P到直線的距離為d,則d=0,即AB是直徑。

又OA⊥OB，故O在圓上，即F=0

9.C  

[解析]：圓心到直線的距離為2，又圓上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x+3y=11的距離等于1，故半徑R的取值范圍是1<R<3（畫(huà)圖）

10.C

[解析]：直線為，又直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)

             故     ∴

已知直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其斜率k的取值范圍

二填空題: 

11. 2x+y=0   

[解析]：圓相減就得公共弦AB所在的直線方程，

故AB所在的直線方程是

12.

[解析]：  直線上的點(diǎn)到圓的最近距離就是圓心到直線的距離減去半徑，即

13. 

[解析]：在y軸上截距為且斜率不存在的直線顯然不是切線，

故設(shè)切線方程為，則

14.(x－1)²＋(y－2)²=13或(x－3)²＋(y－4)²=25 

[解析]：設(shè)圓方程為，則

三解答題

(15) 解：設(shè)圓心坐標(biāo)為P(a, b), 則圓的方程是(x－a)²＋(y－b)²=25,

      ∵ (－2, 6)在圓上，∴ (a＋2)²＋(b－6)²=25, 又以M(5, 4)為中點(diǎn)的弦長(zhǎng)為2， 

∴ |PM|²=r²－², 即(a－5)²＋(b－4)²=20,

      聯(lián)立方程組, 兩式相減得7a－2b=3, 將b=代入 

      得  53a²－194a＋141=0, 解得a=1或a=, 相應(yīng)的求得b₁=2, b₂=,

    ∴ 圓的方程是(x－1)²＋(y－2)²＝25或(x－)²＋(y－)²＝25

(16) 解：如圖所示，建立平面直角坐標(biāo)系，

則A（200，0），B（0，220），C（0，300），

      直線l的方程為即

        設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），

      則

      由經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式

       由直線PC到直線PB的角的公式得

      要使tanBPC達(dá)到最大，只須達(dá)到最小，由均值不等式

       當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)上式取得等號(hào)，故當(dāng)x=320時(shí)tanBPC最大，這時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y為

      由此實(shí)際問(wèn)題知，所以tanBPC最大時(shí)，∠BPC最大，故當(dāng)此人距水平地面60米高時(shí)，觀看鐵塔的視角∠BPC最大.

(17) 解：在△AOP中，∵OQ是ÐAOP的平分線

　　　　∴

　　設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）；P點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀）

　　∴

　　∵ P（x₀，y₀）在圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，∴x₀²+y₀²=1

　　即　　∴           

　　此即Q點(diǎn)的軌跡方程。

(18) 圓C化成標(biāo)準(zhǔn)方程為

　　假設(shè)存在以AB為直徑的圓M，圓心M的坐標(biāo)為（a，b）

　　由于CM⊥ l，∴k_CM×k_l= -1   ∴k_CM=，

即a+b+1=0，得b= -a-1   ①

直線l的方程為y-b=x-a，即x-y+b-a=0     CM=

∵以AB為直徑的圓M過(guò)原點(diǎn)，∴

　　，

　　∴　　②

　　把①代入②得　，∴

當(dāng)此時(shí)直線l的方程為x-y-4=0；

當(dāng)此時(shí)直線l的方程為x-y+1=0

故這樣的直線l是存在的，方程為x-y-4=0 或x-y+1=0

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試題詳情

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第六單元  等差數(shù)列與等比數(shù)列

一.選擇題

(1) 已知等差數(shù)列中，的值是                                (      )

A  15            B  30                            C  31          D  64

(2) 在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列｛a_n｝中，首項(xiàng)a₁=3 ，前三項(xiàng)和為21，則a₃+ a₄+ a₅=(      )

     A   33           B   72           C   84         D  189

(3)已知等差數(shù)列的公差為2,若成等比數(shù)列, 則=                                  (      )

      A  ?4           B  ?6            C  ?8          D  ?10

(4) 如果數(shù)列是等差數(shù)列，則                                                                                        (       )

A                                               B 

C                                               D 

(5) 已知由正數(shù)組成的等比數(shù)列｛a_n｝中,公比q=2, a₁?a₂?a₃?…?a₃₀=2⁴⁵, 則

a₁?a₄?a₇?…?a₂₈=                                                                                                      (      )

       A  2⁵                    B  2¹⁰           C  2¹⁵          D  2²⁰

(6) 是首項(xiàng)=1，公差為=3的等差數(shù)列，如果=2005，則序號(hào)等于          (      )

A  667                 B  668          C  669       D  670

(7) 數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和S_n=3ⁿ-c, 則c=1是數(shù)列｛a_n｝為等比數(shù)列的                           (      )

      A 充分非必要條件         B  必要非充分條件    

     C充分必要條件            D  既非充分又非必要條件  

(8) 在等比數(shù)列｛a_n｝中, a₁<0, 若對(duì)正整數(shù)n都有a_n<a_n+1, 那么公比q的取值范圍是                                                       (      )

A  q>1               B  0<q<1       C  q<0        D  q<1

(9) 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)。已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的表面積(含最底層正方體的底面面積)超過(guò)39，則該塔形中正方體的個(gè)數(shù)至少是                       (       )

    A 4；

    B 5；

   C 6；

   D 7。

(10) 已知f(x)=bx+1為x的一次函數(shù),  b為不等于1的常數(shù), 且

g(n)=, 設(shè)a_n= g(n)－g(n-1) (n∈N^※), 則數(shù)列｛a_n｝是                  (       )

    A 等差數(shù)列     B等比數(shù)列    C  遞增數(shù)列    D  遞減數(shù)列

二.填空題

(11) 在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為_(kāi)____.

(12) 設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，S_n=(對(duì)于所有n≥1)，且a₄=54，則a₁的數(shù)值是_____.

(13) 等差數(shù)列｛a_n｝的前m項(xiàng)和為30, 前2m項(xiàng)和為100, 則它的前3m項(xiàng)和為            .

(14) 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，前n項(xiàng)和為S­_n，若S_n+1,S­_n，S_n+2成等差數(shù)列，則q的值為_(kāi)________

三.解答題

(15) 已知數(shù)列為等差數(shù)列，且 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(16) 設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為S_n=2n²，為等比數(shù)列，且

   （Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；

   （Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n.

(17) 已知等比數(shù)列｛a_n｝的各項(xiàng)都是正數(shù), S_n=80, S_2n=6560, 且在前n項(xiàng)中, 最大的項(xiàng)為54, 求n的值.

(18) 已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.

   （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）設(shè){}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，比較S_n與b_n的大小，并說(shuō)明理由..

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第八單元  平面向量

一.選擇題

(1) 若，且，則向量與的夾角為                            (       )

A  30°                       B  60°                          C  120°                        D  150°

(2) P是△ABC所在平面上一點(diǎn)，若，則P是△ABC的（　  ）

　　A   外心　              B  內(nèi)心　               C  重心　               D  垂心

(3)已知平行四邊形ABCD中,  =(3, 7 ), =(-2, 3 ), 對(duì)角線AC, BD交于點(diǎn)O,

則的坐標(biāo)為                                                                                                                  (        )

        A  (-, 5)                   B (-, -5)                 C (, -5)                    D (, 5) 

(4) 已知向量（       ）

A   30°                       B   60°                  C  120°              D  150°

(5)為了得到函數(shù)y＝sin(2x-)的圖像,可以將函數(shù)y＝cos2x的圖像                               (       )

A 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度          B 向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度          D 向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

(6) 點(diǎn)P在平面上作勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度向量=（4，－3）（即點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)方向與v相同，且每秒移動(dòng)的距離為||個(gè)單位.設(shè)開(kāi)始時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－10，10），則5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為                                                                                                    （      ）

A  （－2，4）       B （－30，25）       C （10，－5）         D （5，－10）

(7) 在△ABC中，∠C=90°，則k的值是               （      ）

A  5                           B  －5                      C                               D 

(8) 已知、均為單位何量,它們的夾角為60°,那么| + 3 | =                                (       )

A                         B                          C                              D  4

(9) 已知點(diǎn)A（，1），B（0，0）C（，0）.設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有等于                                                                （      ）

A   2                  B                             C   －3                         D   －

(10) 已知向量≠，||＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|－t|≥|－|，則             （      ）

A  ⊥                B   ⊥(－)         C    ⊥(－)               D   (＋)⊥(－)

二.填空題

(11)已知向量，且A、B、C三點(diǎn)共線，則k=___

(12)已知向量與的夾角為120°,且||=2, ||=5,則(2-)?=         .

(13已知向量不超過(guò)5，則k的取值范圍是_______

(14) 直角坐標(biāo)平面中，若定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程是__________

三.解答題

(15) 已知向量.

是否存在實(shí)數(shù)若存在，則求出x的值；若不存在，則證明之.

(16)如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)

與的夾角θ取何值時(shí)，?的值最大？并求出這個(gè)最大值.

(17)已知兩點(diǎn)M(-1,0), N(1, 0), 且點(diǎn)P使成公差小于零的等差數(shù)列.

(Ⅰ)點(diǎn)P的軌跡是什么曲線?

(Ⅱ)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x_0, y₀), 記θ為,的夾角, 求tanθ.

（18）中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，已知成等比數(shù)列，且

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）設(shè)，求的值。

答案

一選擇題:

1.C  

[解析]：若，設(shè)向量與的夾角為

∵，∴，則

∴

2.D  

[解析]：∵，則由得

              同理，即P是垂心

3.B  

[解析]：=(3, 7 ), =(-2, 3 ), ,

則

4.C  

[解析]：，∵，∴

5.B  

[解析]：y＝sin(2x-)=cos(2x-)=cos2(x- )，故選B

6.C 

[解析]：5秒后點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－10，10）+5（4，－3）= (10,- 5)

7.A 

[解析]： ∠C=90°，則∵∠C=90°

∴

8.C 

[解析]：已知、均為單位何量,它們的夾角為60°,那么=

∴| + 3 |²=

9.C 

[解析]：設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，

那么

10.C

[解析]：已知向量≠，||＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|－t|≥|－|

             即 |－t|²≥|－|²    ∴

       即

二填空題:

11.

[解析]：向量，   

            ∴

又A、B、C三點(diǎn)共線

故（4-k,- 7）= (- 2k,- 2)

∴k=

12. 13 

[解析]：      (2-)?=2²- ?=2

13. [－6，2]

[解析]：

 5       ∴

14. x+2y-4=0

[解析]：∴(1,2)?(x,y)=4,∴x+2y-4=0

三解答題

(15)  已知向量.

當(dāng)則2cosx=0

答：時(shí)，.

(16)解法一：∵⊥,∴?=0.

∵= -,=-,=-,

∴?=(-)?(-)

         =?-?-?+?

         = -a²-?+?

         = -a²-?(-)

         = -a²+?

         = -a²+ a²cosθ.

故當(dāng)cosθ=1,即θ=0 (與方向相同)時(shí), ?最大,最大值為0.

解法二:以直角頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),兩直角邊所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的平面直角

坐標(biāo)系.

設(shè)|AB|=c,|AC|=b,則A(0,0),B(0,0),C(0,0).

且|PQ|=2a,|BC|=a.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則Q(-x, -y),

∴=(x-c, y),=( -x, -y- b).

=(-c, b), =(-2x, -2y).

?=( x-c)(-x)+ y(-y- b)= - (x²+y²)+ c x- b y .

∵cosθ=,

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第五單元  三角函數(shù)的證明與求值

一.選擇題

(1) 若為第三象限，則的值為                        （    ）

     A．3                      B．－3                        C．1                            D．－1

(2) 以下各式中能成立的是                                                                                 （    ）

       A．                           B．且

C．且                     D．且

(3) sin7°cos37°－sin83°cos53°值                                                               （    ）

A． B．    C．  D．－

(4)若函數(shù)f(x)=sinx, x∈[0, ], 則函數(shù)f(x)的最大值是                         (     )

A           B              C          D

(5) 條件甲，條件乙，那么                        （    ）

    A．甲是乙的充分不必要條件                      B．甲是乙的充要條件

C．甲是乙的必要不充分條件                          D．甲是乙的既不充分也不必要條件

(6)、為銳角a=sin()，b=，則a、b之間關(guān)系為      （    ）

A．a＞b     B．b＞a C．a=b        D．不確定

(7)(1+tan25°)(1+tan20°)的值是                                                                               (     )

A -2                B  2                C  1            D -1

(8) 為第二象限的角，則必有                                                                             （    ）

    A．＞                                      B．＜

C．＞                                          D．＜

(9)在△ABC中，sinA=，cosB=，則cosC等于                                     （    ）

    A．       B．                                C．或        D．

(10) 若a>b>1, P=, Q=(lga+lgb)，R=lg , 則                       （    ）

  A．R<P<Q　　  B．P<Q<R  　　C．Q<P<R  　　　D　P<R<Q

二.填空題

(11)若tan=2，則2sin²－3sincos=            。

(12)若－，∈（0，π），則tan=                  。

(13)，則范圍                    。

(14)下列命題正確的有_________。

①若－＜＜＜，則范圍為（－π，π）；

②若在第一象限，則在一、三象限；

③若=，，則m∈（3，9）；

④=，=，則在一象限。

三.解答題

(15) 已知sin(＋)=－，cos()=，且＜＜＜，求sin2.

(16) （已知

求的值.

(17) 在△ABC中，sinA+cosA=，AC=2，AB=3，求tgA的值和△ABC的面積.

(18)設(shè)關(guān)于x的方程sinx+cosx+a=0在(0, 2π)內(nèi)有相異二解α、β.

(Ⅰ)求α的取值范圍;  (Ⅱ)求tan(α+β)的值.

試題詳情

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第二單元  函數(shù)及其性質(zhì)

一.選擇題

(1)                                                                           （    ）

(2) 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是　　　　　　　　　　　　　　　　　（�。�

A．                  B．

C．                        D．

(3) 函數(shù)的定義域?yàn)?a >，那么其值域?yàn)椤　　　　　　　　　。ā。?/p>

A．         B．            C．        D．

(4) 設(shè)函數(shù)f(x) (x∈R)是以3為周期的奇函數(shù), 且f(1)>1, f(2)= a, 則           　　　　　(      )

       A．  a>2         B．  a<-2           C．  a>1          D．  a<-1

(5)設(shè)f(x)為奇函數(shù), 且在(-∞, 0)內(nèi)是減函數(shù), f(-2)= 0, 則x f(x)<0的解集為     　　　 (      )

        A．  (-1, 0)∪(2, +∞)               B．   (-∞, -2)∪(0, 2 ) 

C． (-∞, -2)∪(2, +∞)             D．  (-2, 0)∪(0, 2 ) 

(6) 設(shè)函數(shù)的反函數(shù)定義域?yàn)?　　　　　　　　　　　　　(      )

       A．          B．             C．（０，１）            D． 

 (7) 下列各圖象表示的函數(shù)中，存在反函數(shù)的只能是　　　　　　　　　　　　�。ā。�

Ａ．　　　　�。拢　　　　　　。茫　　　　　。模�

(8)設(shè)函數(shù)f(x)=, 當(dāng)x∈[-4, 0]時(shí), 恒有f(x)≤g(x), 則a可能取的一個(gè)值是                                                              　　　　　　　　　　　　　 (      )

       A．  -5          B．  5            C．  -            D． 

(9) 已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y), 且f(2)=4,則f(-1)=      　　　　(      )

 A．  -2       B．  1         C．  0.5          D．  2

(10) 已知，則下列不等式中成立的一個(gè)是　　　　　　　　　　　　　�。� ）

A．            B．             C．          D．

二.填空題

(11) 奇函數(shù)定義域是，則         .

(12) 若，則＿＿＿＿         

 (13) 函數(shù)在上的最大值與最小值之和為      .

(14) 在R上為減函數(shù)，則        .

三.解答題

(15) 記函數(shù)的定義域?yàn)榧螹，函數(shù)的定義域?yàn)榧螻．求：

（Ⅰ）集合M，N；

（Ⅱ） 集合，

(16) 設(shè)是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，并且，求

(17) 有一批材料可以建成長(zhǎng)為的圍墻，如果用材料在一邊靠墻的地方圍成一塊矩形場(chǎng)地，中間用同樣的材料隔成三個(gè)面積相等的矩形（如圖），則圍成的矩形的最大面積是多少？

(18) 已知二次函數(shù)y=f₁(x)的圖象以原點(diǎn)為頂點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)(1,1),反比例函數(shù)y=f₂(x)的圖象與直線y=x的兩個(gè)交點(diǎn)間距離為8,f(x)= f₁(x)+ f₂(x).

  (Ⅰ) 求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

(Ⅱ) 證明:當(dāng)a>3時(shí),關(guān)于x的方程f(x)= f(a)有三個(gè)實(shí)數(shù)解.

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第二十單元  復(fù)數(shù)

一.選擇題

(1)                                                                                                    (      )

       A．               B．               C．                  D．

(2) 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是                                                                              (      )

A．                      B．                 C．               D．

(3) 滿足條件|z-i|=|3+4i|復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是                                             (      )

A ．一條直線      　　B ．兩條直線      　C． 圓      　　　　　D． 橢圓

(4) ²⁰⁰⁵ =                                                                                                      (      )

A．   　　　　　　 B．－               C．                     D．－

(5) 設(shè)z₁, z₂是復(fù)數(shù), 則下列結(jié)論中正確的是                                                                      (      )

A． 若z₁²+ z₂²>0,則z₁²>- z₂²      　　　　  B． |z₁-z₂|=       

C． z₁²+ z₂²=0 z₁=z₂=0           　　　　  D． |z₁²|=||²

(6)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A, 將點(diǎn)A繞坐標(biāo)原點(diǎn), 按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn), 再向左平移一個(gè)單位, 向下平移一個(gè)單位, 得到B點(diǎn), 此時(shí)點(diǎn)B與點(diǎn)A恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱, 則復(fù)數(shù)z為                                                                                                                                    (      )

A．  -1        B．  1           C．  i            D．  - i

(7)設(shè)復(fù)數(shù)z =cosθ+icosθ, θ∈[0, π], ω= -1+i, 則|z-ω|的最大值是            (   )

A．  +1                 B．                   C． 2                              D．   

(8) 設(shè)z₁, z₂是非零復(fù)數(shù)滿足z₁²+ z₁z₂+ z₂²=0,  則()²+()²的值是           (      )

A．  -1                          B．  1                     C． -2                             D．  2

(9)已知復(fù)數(shù)z=x+yi (x,y∈R, x≥), 滿足|z-1|= x , 那么z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(x,y)的軌跡

是                                                                                                                                            (      )

A．  圓                          B．  橢圓                C． 雙曲線                    D ． 拋物線

(10) 設(shè)z∈C, 且|z|=1, 當(dāng)|(z-1)(z-i)|最大時(shí), z =                                                          (      )

A ． -1                          B．  - i                      C．  --i            D．  + i

二.填空題

(11)已知復(fù)數(shù)z₁=3+4i, z₂=t+i,,且z₁?是實(shí)數(shù),則實(shí)數(shù)t等于           .

(12) 若t∈R, t≠-1, t≠0時(shí),復(fù)數(shù)z =的模的取值范圍是    .

(13)若a≥0, 且z|z|+az+i=0, 則復(fù)數(shù)z =                   

(14)設(shè)z=log₂(m²-3m-3)+i log₂(m-3) (m∈R), 若z對(duì)應(yīng)點(diǎn)在直線x-2y+1=0上, 則m的值是                 .

三.解答題

(15) 在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解方程(i為虛數(shù)單位).

(16)已知復(fù)數(shù)z₁滿足(1+i)z₁=－1+5i, z₂=a－2－i, 其中i為虛數(shù)單位,a∈R, 若<,求a的取值范圍.

(17) 已知z₁, z₂是復(fù)數(shù), 求證: 若|z₁-|=|1- z₁z₂|,則|z₁|, |z₂|中至少有一個(gè)值為1.

(18)設(shè)復(fù)數(shù)z₁, z₂滿足z₁z₂+2i z₁-2i z₂+1=0.

(Ⅰ)若z₁, z₂滿足- z₁=2i , 求z₁, z₂; 

(Ⅱ)若|z₁|=, 是否存在常數(shù)k, 使得等式|z₂-4 i |=k恒成立, 若存在,試求出k; 若不存在說(shuō)明理由.

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第九單元  不等式的證明

一.選擇題

(1) 已知，那么下列命題中正確的是                                                 （      ）

    A．若，則                        B．若，則

C．若，則                 D．若，則

(2) 設(shè)a>1，0<b<1，則的取值范圍為                                        （      ）

A．             B．                C．               D．

(3) 設(shè)x＞0，P＝2^x+2^－x，Q＝(sinx+cosx)²，則                                                    （      ）

A．P≥Q                     B．P≤Q              C．P＞Q                   D．P＜Q

(4)命題p:若a、b∈R,則|a|+|b|>1是|a+b|>1的充分而不必要條件.

命題q:函數(shù)y=的定義域是(-∞,-13,+∞).則                                         (      )

A ． “p或q”為假     B．  “p且q”為真   　 C．  p真q假   　　　 D ． p假q真

(5)如果a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中不一定成立的是                      (      )

A．  ab>ac       　　　B．  c(b-a)>0       　  C．  cb²<ab²      　　　   D．  ac(a-c)<0

(6)若a、b為實(shí)數(shù), 且a+b=2, 則3^a+3^b的最小值為                                                              (      )

A  ．18       　　　　 B ．6         　　　　　C  ．2    　　　　   D ．2

(7) 設(shè)p+q=1, p>0, q>0, 則不等式成立的一個(gè)充分條件是                           (      )

A ． 0<x<                B  ．<x<  　　　C  ．<x<1                 　D．  x>1

(8) 設(shè)，則的最大值是                                  （      ）

    A．                     B．                     C．                        D．2

 (9) 設(shè)a＞0, b＞0，則以下不等式中不恒成立的是                                                             (      )

   A．≥4          　　B．≥

C．≥        D．≥

(10) 設(shè)0<x<1,a、b為正常數(shù)，則的最小值為                                   （      ）

    A．4ab               B．                    C．                    D．

二.填空題

(11) 設(shè)a<0，－1<b<0，則a,ab,ab²從小到大的順序?yàn)開(kāi)_________

(12) 設(shè)，則x+y的最小值為_(kāi)________

(13)若<0,已知下列不等式:①a+b<ab  ②|a|>|b|  ③a<b  ④>2,

其中正確的不等式的序號(hào)為                 .

(14)設(shè)集合，則m的取值范圍是        .

三.解答題

(15) 已知，，，，試比較A、B、C的大小.

(16) 已知正數(shù)x、y滿足的最小值.

判斷以上解法是否正確？說(shuō)明理由；若不正確，請(qǐng)給出正確解法．

(17) 已知

(18) 已知函數(shù)在R上是增函數(shù)，.

（1）求證：如果；

（2）判斷（1）中的命題的逆命題是否成立？并證明你的結(jié)論；

解不等式.

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第三單元  指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

一.選擇題

(1)已知 函數(shù)  ，那么 的值為                         　  　(       )

      A．  9          B．            C．            D． 

(2)的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是                   （      ）

       A．              B．

       C．         D．

(3)已知0<x<y<a<1，則有                                                                   （     ）

A．log_a(xy)<0          B．0< log_a(xy)<1 

C．1< log_a(xy)<2                   D．log_a(xy)>2

(4)若函數(shù)的圖象與x軸有公共點(diǎn)，則m的取值范圍是                   （      ）

A．m≤－1              B．－1≤m<0              C．m≥1       D．0<m≤1

(5)若定義在（－1，0）內(nèi)的函數(shù)，則a的取值范圍是     （      ）

A．      B．    C．         D．

(6)若函數(shù)在R上為增函數(shù)，則a的取值范圍是                               （      ）

A．         B．      C．         D．

(7)函數(shù)y=log_ax在上總有|y|>1，則a的取值范圍是                              （       ）

A．或                   B．或

C．                        D．或

(8)已知f(x)=ax²+bx+c (a>0)，α，β為方程f(x)=x的兩根，且0<α<β，當(dāng)0<x<α?xí)r，給出下列不等式，成立的是                                                           （       ）

A．x<f(x)                B．x≤f(x)            C．x>f(x)             D．x≥f(x)

(9)方程的根的情況是                                            （       ）

A．僅有一根                                        B．有兩個(gè)正根           

C．有一正根和一個(gè)負(fù)根                      D．有兩個(gè)負(fù)根

(10)若方程有解，則a的取值范圍是              （      ）

A．a(chǎn)>0或a≤－8                                        B．a(chǎn)>0

C．                                    D．

二填空題:

(11)若f(10^x)= x, 則f(5) =          .

(12)方程有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________________

(13)關(guān)于x的方程有負(fù)根，則a的取值范圍是_______________

(14) 函數(shù)f(x)=a^x (a>0, a≠1)在[1, 2]中的最大值比最小值大, 則a的值為     .

三.解答題:

(15)求的值.

(16)設(shè)A、B是函數(shù)y= log₂x圖象上兩點(diǎn), 其橫坐標(biāo)分別為a和a+4, 直線l: x=a+2與函數(shù)y= log₂x圖象交于點(diǎn)C, 與直線AB交于點(diǎn)D.

(Ⅰ)求點(diǎn)D的坐標(biāo);

 (Ⅱ)當(dāng)△ABC的面積大于1時(shí), 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

(17)設(shè)函數(shù)的取值范圍.

(18)設(shè)a>0且a≠1，   (x≥1)

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的反函數(shù)f^－1(x)及其定義域；

(Ⅱ)若，求a的取值范圍。

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第七單元  數(shù)列的求和、極限、數(shù)學(xué)歸納法

一.選擇題

(1) 已知等差數(shù)列｛a_n｝的前n項(xiàng)和為S_n，且S₄=3，S₈=7，則S₁₂的值是                  (      )

 A  8     B  11                  C  12               D  15

(2) 已知數(shù)列滿足，則=                         （      ）

A  0       B        C          D 

(3) 數(shù)列1,(1+2),(1+2+2²),…,( 1+2+2²+…+2^n-1+…)的前n項(xiàng)和是                                   (      )

A 2ⁿ            B 2ⁿ-2                C 2ⁿ⁺¹- n -2        D n?2ⁿ

(4) 從集合｛1，2，3，4，5，6，7，8，9，10｝中任選三個(gè)不同的數(shù)，如果這三個(gè)數(shù)經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)呐帕谐傻炔顢?shù)列，則這樣的等差數(shù)列一共有                                                   (      )

A  20個(gè) B  40個(gè)      C 10個(gè)                D 120個(gè)

(5) ＝                                                                                              (      )

A 2              B 4                     C                    D  0

(6) 如果為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差，則                                (      )

A     B       C          D

(7)已知等差數(shù)列｛a_n｝與｛b_n｝的前n項(xiàng)和分別為S_n與T_n, 若, 則的值是                                                                                                                                        (       )

A             B               C                     D 

(8) 的值是                                                                         (       )

A             B                  C                     D 

(9) 已知數(shù)列{log₂(a_n－1)}（n∈N^*）為等差數(shù)列，且a₁＝3，a₂＝5，則

=                                                         (       )

　　A   2　　    B  　　         C  1　　                        D 

(10) 已知數(shù)列滿足,,….若,則  (       )

Ａ           Ｂ３                  Ｃ４                      Ｄ５

二.填空題

(11) 在等差數(shù)列｛a_n｝中，a₁＞0，a₅=3a₇，前n項(xiàng)和為S_n，若S_n取得最大值，則n=     .

(12) 在等差數(shù)列｛a_n｝中，前n項(xiàng)和為S_n，若S₁₉=31，S₃₁=19，則S₅₀的值是______

(13)在等比數(shù)列｛a_n｝中，若a₉?a₁₁=4，則數(shù)列｛｝前19項(xiàng)之和為_(kāi)______

(14)若a>0,且a≠1, 則的值是                            .

三.解答題

(15) 設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a≠，且,

記，n＝＝l，2，3，…?．

（I）求a₂，a₃；

（II）判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

（III）求

(16) 數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=1，，n=1，2，3，……，求

   （I）a₂，a₃，a₄的值及數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；

   （II）的值.

(17) 已知{}是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.

   （Ⅰ）求q的值；

（Ⅱ）設(shè){}是以2為首項(xiàng)，q為公差的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，當(dāng)n≥2時(shí)，比較S_n與b_n的大小，并說(shuō)明理由.

.

(18)  已知定義在R上的函數(shù)和數(shù)列滿足下列條件：

  ，

，其中a為常數(shù)，k為非零常數(shù).

（Ⅰ）令，證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（Ⅱ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，求.

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第一單元  集合與簡(jiǎn)易邏輯

一.選擇題

(1) 設(shè)集合M =，N =， 則              (     )

    A.M=N      B.MN        C.MN          D.MN=

(2) 若集合M=｛y| y=｝，P=｛y| y=｝， 則M∩P=                          （     ）

   A｛y| y>1｝      B｛y| y≥1｝       C｛y| y>0｝       D｛y| y≥0｝

(3) 不等式的解集為                                                                                      (     )

A.     B.     C.      D.

(4) 集合M=｛x|｝, N=｛｝, 則 MN =        (     )

A.{0}     B.{2}       C.             D.  { 

(5)下列四個(gè)集合中，是空集的是                                                                                   (     )

A .          B .     

C.  {            D .

(6)已知集合M=｛a², a+1,-3｝, N=｛a-3, 2a-1, a²+1｝, 若M∩N=｛-3｝, 則a的值是                                                       (     )

    A  -1         B   0            C   1             D   2

(7) 對(duì)任意實(shí)數(shù), 若不等式恒成立, 則實(shí)數(shù)的取值范圍是    (     )

A  k≥1         B  k >1        C  k≤1        D  k <1

(8) 一元二次方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根的充分不必要條件是：

                                                                                                                           （     ）

   A．             B．          C．           D．

(9) 設(shè)命題甲:的解集是實(shí)數(shù)集R;命題乙:,則命題甲是命題乙成立的                                                                                                                                       (     )

A . 充分非必要條件             B.必要非充分條件        

C. 充要條件                          D. 既非充分又非必要條件

(10) 函數(shù)f(x)=其中P，M為實(shí)數(shù)集R的兩個(gè)非空子集，又規(guī)定f(P)={y|y=f(x),x∈P}，f(M)={y|y=f(x),x∈M}.給出下列四個(gè)判斷：

①若P∩M=，則f(P)∩f(M)=；   ②若P∩M≠，則f(P)∩f(M) ≠；

③若P∪M=R，則f(P)∪f(wàn)(M)=R；       ④若P∪M≠R，則f(P) ∪f(wàn)(M)≠R.

其中正確判斷有                                                                                                              (     )

A  0個(gè)         B  1個(gè)        C  2個(gè)         D  4個(gè)

二.填空題

(11)若不等式的解集是，則________

(12) 拋物線的對(duì)稱軸方程是              .

(13) 已知全集U，A，B，那么         ___.

(14) 設(shè)二次函數(shù)，若（其中），則等于     _____.

三.解答題

(15) 用反證法證明：已知，且，則中至少有一個(gè)大于1。

(16) 設(shè)全集U=R, 集合A=｛x| x²- x-6<0｝, B=｛x|| x|= y+2, y∈A｝, 求C_UB,

   A∩B, A∪B, A∪(C_UB), A∩(B), C_U(A∪B), (C_UA)∩(C_UB).

(17) 若不等式的解集為，求的值

(18) 已知集合A，B，且，求實(shí)數(shù)的值組成的集合。

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