Question

【題目】（本小題滿分14分）

如圖，直線y＝kx＋b（k、b為常數(shù)）分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(－4，0)、B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求直線y＝kx＋b的解析式；

（2）若點(diǎn)P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)解析式，并求d取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對(duì)稱軸上移動(dòng)，點(diǎn)F在直線AB上移動(dòng)，求CE＋EF的最小值．

Answer 1

【答案】(1) y＝x＋3；（2）P(，)；（3）．

【解析】

試題分析：（1）將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y＝kx＋b中，求出k、b的值；（2）作出點(diǎn)P到直線AB的距離后，由于∠AHC＝90°，考慮構(gòu)造“K形”相似，得到△MAH、△OBA、△NHP三個(gè)三角形兩兩相似，三邊之比都是3∶4∶5．由“”可得，整理可得d關(guān)于x的二次函數(shù)，配方可求出d的最小值；（3）如果點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)C′，根據(jù)對(duì)稱性可知，CE＝C′E．當(dāng)C′F⊥AB時(shí)，CE＋EF最小．

試題解析：

解：（1）∵y＝kx＋b經(jīng)過A(－4，0)、B(0，3),

∴，解得k＝，b＝3．

∴y＝x＋3．

（2）過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作x軸的平行線MN，分別過點(diǎn)A、P作MN的垂線段，垂足分別為M、N．

設(shè)H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)，N(x，m＋3)，P(x，－x2＋2x＋1)．

∵PH⊥AB，∴∠CHN＋∠AHM＝90°，∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°．

∴∠MAH＝∠CHN，∵∠AMH＝∠CNH＝90°，∴△AMH∽△HNP．

∵MA∥y軸，∴△MAH∽△OBA．∴△OBA∽△NHP．

∴．

∴．

整理得：，所以當(dāng)x＝，即P(，)．

（3）作點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1的對(duì)稱點(diǎn)C′，過點(diǎn)C′作C′F⊥AB于F．過點(diǎn)F作JK∥x軸，，分別過點(diǎn)A、C′作J⊥JK于點(diǎn)J，C′K⊥JK于點(diǎn)K．則C′(2，1)

設(shè)F(m，m＋3)

∵C′F⊥AB，∠AFJ＋∠C′FK＝90°，∵CK⊥JK，∴∠C′＋∠C′FK＝90°．

∴∠C′＝∠AFJ，∵∠J＝∠K＝90°，∴△AFJ∽△FC′K．

∴，∴，解得m＝或－4（不符合題意）．

∴F(，)，∵C′(2，1)，∴FC′＝．

∴CE＋EF的最小值＝C′E＝．