Question

7．如圖，AB是⊙O的弦，AB=10，點(diǎn)C是⊙O上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=45°，若點(diǎn)M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，則MN長(zhǎng)的最大值是5$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)中位線定理得到MN的最大時(shí)，AC最大，當(dāng)AC最大時(shí)是直徑，從而求得直徑后就可以求得最大值．

解答 解：∵點(diǎn)M，N分別是AB，BC的中點(diǎn)，
∴MN=$\frac{1}{2}$AC，
∴當(dāng)AC取得最大值時(shí)，MN就取得最大值，
當(dāng)AC時(shí)直徑時(shí)，最大，如圖所示，
∵∠ACB=∠D=45°，AB=10，∠ABD=90°，
∴AD=$\sqrt{2}$AB=10$\sqrt{2}$，
∴MN=$\frac{1}{2}$AD=5$\sqrt{2}$，
故答案為：5$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線定理、等腰直角三角形的性質(zhì)及圓周角定理，解題的關(guān)鍵是了解當(dāng)什么時(shí)候MN的值最大，難度不大．