Question

【題目】問題發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1，與同為等邊三角形，連接則與的數(shù)量關(guān)系為________；直線與所夾的銳角為_________；

類比探究：（2）與同為等腰直角三角形，其他條件同（1），請(qǐng)問（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由；

拓展延伸：（3）中，為的中位線，將繞點(diǎn)逆時(shí)針自由旋轉(zhuǎn)，已知，在自由旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)在一條直線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）不成立，見解析；（3）2或4

【解析】

（1）根據(jù)題意，利用等邊三角形的性質(zhì)，得出，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出與所夾的銳角為60°．

（2）根據(jù)題意，利用等腰直角三角形的性質(zhì)可推出，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，得出，故得出直線與所夾的銳角為45°，與（1）結(jié)論不符．

（3）此問需要分兩種情況討論，一種情況是當(dāng)在直線上，該種情況需要先證明，從而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出；另一種情況是，當(dāng)在直線下，先證明，從而證明四邊形為矩形，最后求出．

解：（1）；60°

解答如下：如圖１，

與為等邊三角形，

，

在與中，

，

故答案為：；直線與所夾的銳角為60°．

（2）不成立

理由如下：與為等腰直角三角形，

，，

，

即：，

在與中，

故（1）中的結(jié)論不成立；

（3）的長(zhǎng)度為2或4；

①點(diǎn)在直線上方時(shí)如圖4，

，

，

②點(diǎn)在直線下方時(shí)，如圖5，

∥

根據(jù)題意，易證四邊形為矩形，

，

故答案為

綜上可得的長(zhǎng)度為2或4