Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，已知AB=AC，點(diǎn)M為劣弧BC上任意一點(diǎn)，且∠AMC=60°．
（1）若BC=6，求△ABC的面積；
（2）若點(diǎn)D為AM上一點(diǎn)，且BD=DM，判斷線(xiàn)段MA、MB、MC三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,垂徑定理

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠AMC=60°，加上AB=AC，則可判斷△ABC為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算其面積；
（2）先判斷△BDM為正三角形得到BD=BM，由∠ABC=∠DBM=60°得到∠ABD=∠CBM，則可根據(jù)“SAS”判斷△ABD≌△CBM，所以AD=CM，于是MA=MD+AD=MB+MC．

解答：解：（1）∵∠ABC=∠AMC=60°，
而AB=AC，
∴△ABC為等邊三角形，
∴△ABC的面積=

3

4

BC²=

3

4

×36=9

3

；

（2）MA=MB+MC，理由如下：
∵BD=DM，∠AMB=∠ACB=60°，
∴△BDM為正三角形，
∴BD=BM，
∵∠ABC=∠DBM=60°，
∴∠ABC-∠DBC=∠DBM-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBM，
在△ABD與△CBM 中，

AB=CB ∠ABD=∠CBM BD=BM

，
∴△ABD≌△CBM（SAS），
∴AD=CM，
∴MA=MD+AD=MB+MC．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì)．