如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,已知AB=AC,點(diǎn)M為劣弧BC上任意一點(diǎn),且∠AMC=60°.
(1)若BC=6,求△ABC的面積;
(2)若點(diǎn)D為AM上一點(diǎn),且BD=DM,判斷線(xiàn)段MA、MB、MC三者之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論.
考點(diǎn):圓周角定理,全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),勾股定理,垂徑定理
專(zhuān)題:
分析:(1)根據(jù)圓周角定理得到∠ABC=∠AMC=60°,加上AB=AC,則可判斷△ABC為等邊三角形,然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)計(jì)算其面積;
(2)先判斷△BDM為正三角形得到BD=BM,由∠ABC=∠DBM=60°得到∠ABD=∠CBM,則可根據(jù)“SAS”判斷△ABD≌△CBM,所以AD=CM,于是MA=MD+AD=MB+MC.
解答:解:(1)∵∠ABC=∠AMC=60°,
而AB=AC,
∴△ABC為等邊三角形,
∴△ABC的面積=
3
4
BC2=
3
4
×36=9
3
;

(2)MA=MB+MC,理由如下:
∵BD=DM,∠AMB=∠ACB=60°,
∴△BDM為正三角形,
∴BD=BM,
∵∠ABC=∠DBM=60°,
∴∠ABC-∠DBC=∠DBM-∠DBC,
∴∠ABD=∠CBM,
在△ABD與△CBM 中,
AB=CB
∠ABD=∠CBM
BD=BM
,
∴△ABD≌△CBM(SAS),
∴AD=CM,
∴MA=MD+AD=MB+MC.
點(diǎn)評(píng):本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)以及三角形全等的判定與性質(zhì).
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BC
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計(jì)算:
49
-|-5|+(π-2013)0+(
1
3
)-2

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計(jì)算(-2)2+|2-
3
|-2sin60°+
12

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在數(shù)軸上表示下列各數(shù),并按從小到大的順序用“<”把這些數(shù)連接起來(lái):
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(1)化簡(jiǎn):
x2-1
x2+2x
÷
x-1
x
;
(2)如果x是整數(shù),且滿(mǎn)足不等式組
x+2≤3
2(x-1)≥-6
,求(1)中式子的值.

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