Question

如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D是直徑AB的同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，

AC

的度數(shù)為100°，

BC

=2

BD

，動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，則PC+PD的最小值為（　　）

• A、R
• B、

  2

  R
• C、

  3

  R
• D、

  5

  2

  R

Answer 1

考點(diǎn)：軸對(duì)稱-最短路線問題,垂徑定理,圓心角、弧、弦的關(guān)系,圓周角定理

專題：

分析：根據(jù)軸對(duì)稱，作出點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接DC′交AB于點(diǎn)P，此時(shí)PC+PD最小．由題意求出

DB

的度數(shù)，進(jìn)而得到

DBC′

的度數(shù)，算出∠DOC′的度數(shù)，再在直角三角形DEO利用三角函數(shù)計(jì)算出DE的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理可以得到DC′的長(zhǎng)，DC′的長(zhǎng)就是PC+PD的最小值．

解答：解：如圖：作點(diǎn)C關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)C′，根據(jù)對(duì)稱性可知：PC=PC′．由兩點(diǎn)之間線段最短，此時(shí)DC′的長(zhǎng)就是PC+PD的最小值．
過O作OE⊥C′D，垂足為E，
∵

AC

=100°，
∴

CDB

=180°-100°=80°，
∵

BC

=2

BD

，
∴

DB

=40°，
∴

DBC′

=120°，
∴∠DOC′=120°，∠D=30°，
在△DOE中，OD=R，∠D=30°，
∴DE=OD•cos30°=

3

2

R，
∵OE⊥C′D，
∴C′D=2DE=

3

R，
∴CP+DP=

3

R．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了垂徑定理，以及軸對(duì)稱-最短路線問題，根據(jù)軸對(duì)稱找出點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)C′，由兩點(diǎn)之間線段最短，確定DC′的長(zhǎng)就是PC+PD的最小值，然后由題目所告訴弧的度數(shù)得到∠D的度數(shù)，在△DOE中求出DE的長(zhǎng)．