Question

9．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為CB上一點，且滿足CD=CA，連接AD．過點C作CE⊥AB于點E．
（1）若AB=10，BD=2，求CE的長；
（2）如圖2，若點F是線段CE延長線上一點，連接FD，若∠F=30°，求證：CF=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF；
（3）如圖3，設D為BC延長線上一點，其它條件不變，直線CE與直線AD交于點F，若∠F=30°，請直接寫出線段CF，AE，DF之間的關系，不需要說明理由．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，設AC=CD=x．利用勾股定理列出方程求出x，再根據(jù)$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CE，求出CE即可．
（2）如圖2中，作DH⊥CF于H．于△ACE≌△CDH，推出AE=CH，在Rt△DHF中，由∠DHF=90°，∠F=30°，推出HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，即可證明CF=CH+FH=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF．
（3）結論：CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．如圖3中，作DH⊥FC于H．由△DCH≌△CAE，推出AE=CH，在Rt△DHF中，由∠DHF=90°，∠F=30°，推出HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
即可證明CF=FH-CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．

解答 （1）解：如圖1中，設AC=CD=x．

在Rt△ACB中，AB=10，AC=x，BC=CD+BD=x+2，
∵AB²=AC²+BC²，
∴10²=x²+（x+2）²，
解得x=6或-8（舍棄），
∴AC=6．
∵$\frac{1}{2}$•AC•BC=$\frac{1}{2}$•AB•CE，
∴CE=$\frac{6×8}{10}$=$\frac{24}{5}$．

（2）證明：如圖2中，作DH⊥CF于H．

∵∠ACD=∠AEC=∠DHC=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，∵∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠CAE=∠DCH，
在△ACE和∠CDH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAE=∠DCH}\\{∠AEC=∠DHC}\\{AC=CD}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CDH，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
∴CF=CH+FH=AE+$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF．

（3）解：結論：CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．
理由：如圖3中，作DH⊥FC于H．

同法可證△DCH≌△CAE，
∴AE=CH，
在Rt△DHF中，∵∠DHF=90°，∠F=30°，
∴HF=DF•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF，
∴CF=FH-CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$DF-AE．

點評 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．