Question

5．如圖，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=12cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度沿CA方向向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以1.5cm/s的速度沿BC方向向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)Q作QM⊥BC，交AB于點(diǎn)M，以線(xiàn)段MQ為直角邊在MQ的左側(cè)作等腰直角△MQN，以線(xiàn)段CP為一邊在△ABC內(nèi)部作正方形PDEC，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），△MQN與正方形PDEC重疊部分的面積為S（cm²）．
（1）當(dāng)點(diǎn)P在MN上時(shí)，t=$\frac{24}{7}$s，當(dāng)點(diǎn)D在MQ上時(shí)，t=$\frac{24}{5}$s；
（2）當(dāng)$\frac{8}{3}$≤t≤8時(shí)，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系；
（3）若點(diǎn)F、G分別是MQ、MN的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段FG掃過(guò)的圖形面積．

Answer 1

分析 （1）如圖1，P在MN上，先表示兩動(dòng)點(diǎn)的路程：PC=t，BQ=1.5t，證明△MQB∽△ACB，列比例式可表示MQ=3t，根據(jù)NQ=3t列方程可求得t的值；
如圖2，點(diǎn)D在MQ上，根據(jù)CE=CQ列式求得t的值；
（2）分四種情況：
①當(dāng)N與C重合時(shí)，如圖3，此時(shí)t=$\frac{8}{3}$s，△MQN與正方形PDEC重疊部分△CDE，根據(jù)面積公式求得S；
②當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{24}{7}$時(shí)，如圖4，△MQN與正方形PDEC重疊部分是五邊形GHCED，根據(jù)S=S_{正方形PCED}-S_△PGH可得結(jié)論；
③當(dāng)$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$時(shí)，如圖5，△MQN與正方形PDEC重疊部分是正方形PCED；
④當(dāng)$\frac{24}{5}$＜t≤8時(shí)，如圖6，△MQN與正方形PDEC重疊部分是矩形PCQG；
（3）線(xiàn)段FG掃過(guò)的圖形面積是△BFG的面積，分別求GF和FC的長(zhǎng)，代入面積公式計(jì)算即可．

解答 解：（1）當(dāng)P在MN上時(shí)，如圖1，
由題意得：PC=t，BQ=1.5t，
∵△MQN是等腰直角三角形，
∴MQ=NQ，∠NQM=90°，∠MNQ=45°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB+∠NQM=180°，
∴AC∥MQ，
∴△MQB∽△ACB，
∴$\frac{MQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}$，
∴$\frac{MQ}{24}=\frac{1.5t}{12}$，
∴MQ=3t，
∴NQ=MQ=3t，
∵△PCN是等腰直角三角形，
∴NC=PC=t，
∴NC+CQ=NQ，
t+12-1.5t=3t，
t=$\frac{24}{7}$，
即當(dāng)點(diǎn)P在MN上時(shí)，t=$\frac{24}{7}$s；
當(dāng)點(diǎn)D在MQ上時(shí)，如圖2，此時(shí)Q與E重合，
由題意得：CE=PC=t，CQ=12-1.5t，
∴t=12-1.5t，
t=$\frac{24}{5}$，
即當(dāng)點(diǎn)D在MQ上時(shí)，t=$\frac{24}{5}$s；
故答案為：$\frac{24}{7}$；$\frac{24}{5}$；
（2）①當(dāng)N與C重合時(shí)，如圖3，
∵四邊形PCDE是正方形，
∴∠DCE=45°，
∵△MNQ是等腰直角三角形，
∴∠MNQ=45°，
∴此時(shí)D在CM上，
則CQ+BQ=BC，
3t+1.5t=12，
9t=24，
t=$\frac{8}{3}$；
此時(shí)，△MQN與正方形PDEC重疊部分是△CDE，
S=S_△CDE=$\frac{1}{2}$CE•ED=$\frac{1}{2}{t}^{2}$=$\frac{1}{2}$×$（\frac{8}{3}）^{2}$=$\frac{32}{9}$；
②當(dāng)$\frac{8}{3}$＜t＜$\frac{24}{7}$時(shí)，如圖4，△MQN與正方形PDEC重疊部分是五邊形GHCED，
此時(shí)，CQ=12-1.5t，NC=3t+1.5t-12=4.5t-12，
∵∠MNQ=45°，
∴△NCH是等腰直角三角形，
∴NC=HC=4.5t-12，
∴PH=PG=t-（4.5t-12）=12-3.5t，
∴S=S_{正方形PCED}-S_△PGH=t²-$\frac{1}{2}$（12-3.5t）²=-$\frac{41}{8}{t}^{2}$+42t-72；
③當(dāng)$\frac{24}{7}$$≤t≤\frac{24}{5}$時(shí)，如圖5，△MQN與正方形PDEC重疊部分是正方形PCED，
此時(shí)S=$\frac{1}{2}{t}^{2}$；
④當(dāng)$\frac{24}{5}$＜t≤8時(shí)，如圖6，△MQN與正方形PDEC重疊部分是矩形PCQG，
CQ=12-1.5t，
∴S=S_矩形PCQE=PC•CQ=t（12-1.5t）=-1.5t²+12t；
綜上所述，當(dāng)$\frac{8}{3}$≤t≤8時(shí)，S與t之間的函數(shù)關(guān)系是：
S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{32}{9}（t=\frac{8}{3}）}\\{-\frac{41}{8}{t}^{2}+42t-72（\frac{8}{3}＜t＜\frac{24}{7}）}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}（\frac{24}{7}≤t≤\frac{24}{5}）}\\{-1.5{t}^{2}+12t（\frac{24}{5}＜t≤8）}\end{array}\right.$；
（3）如圖7，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線(xiàn)段FG掃過(guò)的圖形面積是圖中陰影部分的面積，即△BFG的面積，
此時(shí)Q與C重合，
∴NC=AC=24，
∵點(diǎn)F、G分別是MQ、MN的中點(diǎn)，
∴GF是△ANC的中位線(xiàn)，
∴GF∥NC，GF=$\frac{1}{2}$NC=$\frac{1}{2}$AC=12，
FC=$\frac{1}{2}$AC=12，
∴S_△BFG=$\frac{1}{2}$GF•FC=$\frac{1}{2}$×12×12=72；
則線(xiàn)段FG掃過(guò)的圖形面積是72cm²．

點(diǎn)評(píng) 本題是四邊形的綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、三角形相似的性質(zhì)和判定，還有重疊部分面積問(wèn)題，有難度，尤其是第二問(wèn)，要利用數(shù)形結(jié)合的思想，注意重疊部分圖形的不同，并與函數(shù)相結(jié)合，解決問(wèn)題．