Question

20．已知不恒為零的函數f（x）=xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）是偶函數．
（1）求a，b的值；
（2）求不等式$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$f（x-2）＜log₂（2+$\sqrt{3}$）的解集．

Answer 1

分析 （1）根據偶函數的定義得xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=-xlog₂（-ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）；
（2）把不等式$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$f（x-2）＜log₂（2+$\sqrt{3}$）轉化為f（x-2）＜$\sqrt{3}$log₂（2+$\sqrt{3}$）=f（$\sqrt{3}$），得f（|x-2|）＜f（$\sqrt{3}$），即|x-2|＜$\sqrt{3}$解得即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知得xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=-xlog₂（-ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$），即xlog₂（ax+$\sqrt{a{x^2}+b}$）=0
∴$\left\{\begin{array}{l}{a={a}^{2}}\\{b=1}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a=0}\\{b=1}\end{array}\right.$（舍去）或$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
當a=1，b=1時，滿足f（x）是偶函數，故a=1，b=1．（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=xlog₂（x+$\sqrt{{x^2}+1}$），
顯然在x∈（0，+∞）上f（x）是增函數，
$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$f（x-2）＜log₂（2+$\sqrt{3}$）?f（x-2）＜$\sqrt{3}$log₂（2+$\sqrt{3}$）=f（$\sqrt{3}$），
∵f（-x）=f（x）=f（|x|），
∴f（|x-2|）＜f（$\sqrt{3}$），|x-2|＜$\sqrt{3}$，
∴x∈（2-$\sqrt{3}$，2+$\sqrt{3}$）．（12分）

點評 本題主要考查函數的奇偶性和不等式，屬于中等題．