Question

15．已知m，n為正實數(shù)，向量$\overrightarrow{a}$=（m，1），$\overrightarrow$=（1-n，1），若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow$，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$的最小值為3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，可得m+n=1．又m，n為正實數(shù)，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$，展開化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow$，∴m=1-n，即m+n=1．
又m，n為正實數(shù)，則$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=（m+n）$（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）$=3+$\frac{n}{m}$+$\frac{2m}{n}$≥3+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{2m}{n}}$=3+2$\sqrt{2}$，當且僅當n=$\sqrt{2}$m=2-$\sqrt{2}$時取等號．
故答案為：3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了向量共線定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．