Question

8．在△ABC中，①A＜B?sinA＜sinB；②若△ABC為銳角三角形，且BC=$\sqrt{3}$，B=2A，則AC的取值范圍是（$\sqrt{6}$，2$\sqrt{3}$）；③若O為△ABC所在平面內(nèi)異于A，B，C的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）（λ∈R），則動(dòng)點(diǎn)P必過(guò)△ABC的重心．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（　�。�

• A． ①
• B． ①③
• C． ①②
• D． ②③

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和誘導(dǎo)公式推導(dǎo)；
（2）由銳角三角形推出A的范圍，利用正弦定理得出AC的范圍；
（3）作AD⊥BC，利用向量線性運(yùn)算的幾何意義得出A，D，P三點(diǎn)共線．

解答 解：（1）若A$＜B≤\frac{π}{2}$，則sinA＜sinB，
若A$＜\frac{π}{2}＜B$＜π，則A＜π-B$＜\frac{π}{2}$，∴sinA＜sin（π-B）=sinB，故①正確
（2）由正弦定理得$\frac{BC}{sinA}=\frac{AC}{sinB}=\frac{AC}{2sinAcosA}$，∴AC=2BCcosA=2$\sqrt{3}$cosA．
∵△ABC為銳角三角形，∴$\left\{\begin{array}{l}{A＜\frac{π}{2}}\\{2A＜\frac{π}{2}}\\{π-A-2A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{4}$．
∴$\sqrt{6}$＜2$\sqrt{3}$cosA＜3，故②錯(cuò)誤．
（3）∵$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$），∴$\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=λ（$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$）．
作△ABC的BC邊上的高AD，則$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|sinB}$=k₁$\overrightarrow{AD}$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|sinC}$=k₂$\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}$=m$\overrightarrow{AD}$，即點(diǎn)P在直線AD上，故③錯(cuò)誤．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理，平面向量線性運(yùn)算的幾何意義，屬于中檔題．