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5.已知x,y∈R+,x+2y=2,則yx+1y,x2+y2+|y|的最小值分別是2+1;85

分析 x,y∈R+,x+2y=2,可得x=2-2y>0,解得0<y<1.則yx+1y=y22y+1y=f(y),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值可得:當(dāng)y=2-2時(shí),f(y)取得最小值.x2+y2+|y|=22y2+y2+y=5y28y+4+y=g(y),利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值即可得出.

解答 解:∵x,y∈R+,x+2y=2,∴x=2-2y>0,解得0<y<1.
yx+1y=y22y+1y=f(y),f′(y)=22y+2y22y2-1y2=2y222y2y222y2=2[y2+2][y22]y222y2,
可知:當(dāng)y=2-2時(shí),f(y)取得最小值,f(2-2)=2+1.
x2+y2+|y|=22y2+y2+y=5y28y+4+y=g(y),
g′(y)=10y825y28y+4+1=5y4+5y28y+45y28y+4,
令5y-4+5y28y+4=0,解得:y=35,
∴當(dāng)y=35時(shí),g(y)取得最小值,g35=85
故答案分別為:2+1;85

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值與最值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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