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2.如圖,已知直三棱柱ABC-A′B′C′的底面為等邊三角形,D是AA′上的點(diǎn),E是B′C′的中點(diǎn),且A′E∥平面DBC′,試判斷點(diǎn)D在AA′上的位置,并給出證明.

分析 D點(diǎn)是AA′的中點(diǎn).如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接EO,DO,欲證明A′E∥平面DBC′,只需推知A′E∥DO.所以證得四邊形A′DOE為平行四邊形即可.

解答 解:D點(diǎn)是AA′的中點(diǎn).理由如下:
如圖,取BC的中點(diǎn)O,連接EO,DO,
∵直三棱柱ABC-A′B′C′的底面為等邊三角形,E是B′C′的中點(diǎn),
∴EO∥BB′∥AA′.
又∵A′E∥平面DBC′,
∴A′E∥DO.
∴四邊形A′DOE是平行四邊形,
∴A′D=EO,
∴D點(diǎn)是AA′的中點(diǎn).

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與平面平行的判定.對(duì)于平面外的一條直線,只需在平面內(nèi)找到一條直線和這條直線平行,就可判定這條直線必和這個(gè)平面平行.即由線線平行得到線面平行.

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