Question

13．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=3，S_n+1-2S_n=1-n．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系可得：a_n+1-2a_n=-1，變形為：a_n+1-1=2（a_n-1），再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出，注意驗(yàn)證n=1時(shí)是否成立．
（II）n=1時(shí)，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{9}$．n≥2時(shí)，b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，通過(guò)分類討論即可得出．

解答 解：（I）∵S_n+1-2S_n=1-n，∴n=1時(shí)，S₂-2S₁=0，∴a₂=a₁=3．
n≥2時(shí)，S_n-2S_n-1=2-n，相減可得：a_n+1-2a_n=-1，變形為：a_n+1-1=2（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列，a₂-1=2，公比為2．
∴a_n-1=2×2^n-2=2^n-1，即a_n=2^n-1+1．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{{2}^{n-1}+1，n≥2}\end{array}\right.$．．
（II）n=1時(shí)，b₁=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$=$\frac{1}{9}$．
n≥2時(shí)，b_n=$\frac{{2}^{n-1}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n-1}}{（{2}^{n-1}+1）（{2}^{n}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$，
∴n=1時(shí)，T₁=$\frac{1}{9}$．
n≥2時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{9}$+$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n-1}+1}-\frac{1}{{2}^{n}+1}）$
=$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{{2}^{n}+1}$
=$\frac{4}{9}$-$\frac{1}{{2}^{n}+1}$．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{9}，n=1}\\{\frac{4}{9}-\frac{1}{{2}^{n}+1}，n≥2}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．