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13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且a1=3,Sn+1-2Sn=1-n.
(I)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)令bn=2n1anan+1,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

分析 (I)利用遞推關(guān)系可得:an+1-2an=-1,變形為:an+1-1=2(an-1),再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出,注意驗(yàn)證n=1時是否成立.
(II)n=1時,b1=1a1a2=19.n≥2時,bn=2n12n1+12n+1=12n1+112n+1,通過分類討論即可得出.

解答 解:(I)∵Sn+1-2Sn=1-n,∴n=1時,S2-2S1=0,∴a2=a1=3.
n≥2時,Sn-2Sn-1=2-n,相減可得:an+1-2an=-1,變形為:an+1-1=2(an-1),
∴數(shù)列{an-1}從第二項(xiàng)起是等比數(shù)列,a2-1=2,公比為2.
∴an-1=2×2n-2=2n-1,即an=2n-1+1.
∴an={3n=12n1+1n2..
(II)n=1時,b1=1a1a2=19
n≥2時,bn=2n1anan+1=2n12n1+12n+1=12n1+112n+1,
∴n=1時,T1=19
n≥2時,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=19+12+1122+1+122+1123+1+…+12n1+112n+1
=19+1312n+1
=49-12n+1
∴Tn={19n=14912n+1n2

點(diǎn)評 本題考查了遞推關(guān)系、“裂項(xiàng)求和”方法、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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