Question

9．劉徽在他的《九章算術(shù)注》中提出一個(gè)獨(dú)特的方法來計(jì)算球體的體積：他不直接給出球體的體積，而是先計(jì)算另一個(gè)叫“牟合方蓋”的立體的體積．劉徽通過計(jì)算，“牟合方蓋”的體積與球的體積之比應(yīng)為$\frac{4}{π}$．后人導(dǎo)出了“牟合方蓋”的$\frac{1}{8}$體積計(jì)算公式，即$\frac{1}{8}$V_牟=r³-V_方蓋差，r為球的半徑，也即正方形的棱長均為2r，為從而計(jì)算出V_球=$\frac{4}{3}$πr³．記所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V_正，棱長為2r的正方形的方蓋差為V_方蓋差，則$\frac{{V}_{方蓋差}}{{V}_{正}}$=（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 計(jì)算出V_方蓋差，V_正，即可得出結(jié)論

解答 解：解：由題意，V_方蓋差=r³-$\frac{1}{8}$V_牟=r³-$\frac{1}{8}$×$\frac{4}{π}$×$\frac{4}{3}$×π×r³=$\frac{1}{3}$r³，
所有棱長都為r的正四棱錐的體積為V_正=$\frac{1}{3}$×$r×r×\sqrt{{r}^{2}-（\frac{\sqrt{2}r}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$r³，
∴$\frac{{V}_{方蓋差}}{{V}_{正}}$=$\frac{\frac{1}{3}{r}^{3}}{\frac{\sqrt{2}{r}^{3}}{6}}$=$\sqrt{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查新定義，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，比較基礎(chǔ)