Question

4．在平面直角坐標系xOy中，拋物線y²=8x的準線l的方程是x=-2；若雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與直線l交于M，N兩點，且△MON的面積為8，則此雙曲線的離心率為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據拋物線的準線方程進行求解即可．根據準線和雙曲線的漸近線的交點坐標，結合三角形的面積公式進行求解即可．

解答 解：由y²=8x得拋物線的焦點在x軸，且2p=8，則p=4，$\frac{p}{2}$=2，
即拋物線的準線方程為x=-2，
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
當x=-2時，y=±$\frac{2b}{a}$，
即M（-2，$\frac{2b}{a}$），N（-2，-$\frac{2b}{a}$），則KN=$\frac{4b}{a}$，
∵△MON的面積為8，
∴S=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4b}{a}$=$\frac{4b}{a}$=8，
即b=2a，則c²=a²+b²=a²+4a²=5a²，
即c=$\sqrt{5}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，
故答案為：x=-2，$\sqrt{5}$

點評 本題主要考查拋物線的準線的求解以及雙曲線離心率的計算，根據相應的條件建立方程關系是解決本題的關鍵．考查學生的計算能力．