Question

2．邊長為a的正三角形ABC的邊AB、AC的中點為E、F，將△AEF沿EF折起，此時A點的新位置A'使平面A'EF⊥平面BCFE，則A'B=$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．

Answer 1

分析 取BC的中點N，連接AN交EF于點M，連接A′M，可證A′M⊥BM，由已知可得AM=MN=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$=A′M，在Rt△MNB中，利用勾股定理可求MB，進而在Rt△A′MB中，利用勾股定理可求A′B的值．

解答 解：取BC的中點N，連接AN交EF于點M，連接A′M，
則A′M⊥EF．∵平面A′EF⊥平面BCFE，
∴A′M⊥平面BCFE，
∴A′M⊥BM，
∵AM=MN=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
∴A′M=$\frac{\sqrt{3}a}{4}$，
在Rt△MNB中，MB=$\sqrt{M{N}^{2}+N{B}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3{a}^{2}}{16}+\frac{{a}^{2}}{4}}$=$\frac{\sqrt{7}a}{4}$，
在Rt△A′MB中，A′B=$\sqrt{A′{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{\frac{3{a}^{2}}{16}+\frac{7{a}^{2}}{16}}$=$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{10}a}{4}$．

點評 本題主要考查了直線與平面垂直的判斷，考查了勾股定理在解三角形中的應用，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．