Question

10．已知冪函數(shù)f（x）=x^α（α∈R），且$f（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）證明函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)$f（\frac{1}{2}）=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，求出函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可．

解答 （1）解：由${（{\frac{1}{2}}）^α}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$得，$α=\frac{1}{2}$，
所以$f（x）=\sqrt{x}$；
（2）證明：定義域是[0，+∞），設(shè)任意的x₂＞x₁≥0，
則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=\sqrt{x_2}-\sqrt{x_1}=\frac{{{x_2}-{x_1}}}{{\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}}}$，
∵${x_2}-{x_1}＞0，\sqrt{x_2}+\sqrt{x_1}＞0$，
∴f（x₂）＞f（x₁），
函數(shù)f（x）在定義域上是增函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了求冪函數(shù)的解析式問題，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，是一道基礎(chǔ)題．