Question

13．如圖，邊長為2的正方形ABCD中．
（1）點E是AB的中點，點F是BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點重合于點A′．求證：A′D⊥EF．
 （2）當$BE=BF=\frac{1}{2}BC$時，求三棱錐A′-EFD體積．

Answer 1

分析 （1）利用折疊前后直角不變，結合線面垂直的判定得到A′D⊥平面A′EF，從而得到A′D⊥EF；
（2）求出△A′EF的面積，結合DA′⊥面A′EF，利用等積法把三棱錐A′-EFD體積轉化為三棱錐D-A′EF的體積求解．

解答 （1）證明：由已知，折疊前，有AD⊥AE，CD⊥CF，
折疊后，有A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，
又∵A′E∩A′F=A′，A′E、A′F?平面A′EF，
∴A′D⊥平面A′EF，
∵EF?平面A′EF，
∴A′D⊥EF；
（2）解：取EF的中點G，連接A′G，則
由BE=BF=$\frac{1}{4}BC$可知，
△A′EF為腰長$\frac{3}{2}$，底邊長為$\frac{\sqrt{2}}{2}$的等腰三角形，
∴$A′G=\sqrt{\frac{17}{8}}$，則${S}_{△A′EF}=\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}×\sqrt{\frac{17}{8}}=\frac{\sqrt{17}}{8}$，
與（1）同理可得，A′D⊥平面A′EF，且A′D=2，
∴${V}_{A′-DEF}={V}_{D-A′EF}=\frac{1}{3}•{S}_{△A′EF}•A′D$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{17}}{8}×2$=$\frac{\sqrt{17}}{12}$．

點評 本題考查直線和平面垂直的性質，考查了棱錐體積的求法，關鍵是掌握折疊前后的變量與不變量，是中檔題．